[Risolto] Salve come si risolvono queste equazioni con il metodo dell'angolo aggiunto grazie

Ciao dan2004,

ti faccio la prima come esempio e la seconda provi a farla tu e se non ti dovesse venire nuovamente ti mando la soluzione anche della seconda, fatta la premessa andiamo al dunque:

Data la seguente disequazione:

$\sqrt3sinx+cosx=\sqrt3$

per risolverla con il metodo dell'angolo aggiunto, dobbiamo ricavare prima il raggio e in seguito la tangente dell'angolo.

NOTA BENE: il metodo dell'angolo aggiunto è il più veloce, ma non lo si può utilizzare se l'angolo in tangente (che adesso andremo a calcolare) non è un valore a noi noto.

- Determinare il raggio:

$$r=\sqrt{a^2+b^2}$$

dove $a$ è il coefficiente del seno e $b$ il coefficiente del coseno.

A sto punto sostituiamo e calcoliamolo:

$r=\sqrt{{\sqrt3}^2+1^2}=2$

- Determinare l'angolo in tangente:

$$tan\alpha=\frac{b}{a}$$

dove $a$ è il coefficiente del seno e $b$ il coefficiente del coseno.

A sto punto sostituiamo e calcoliamolo:

$tan\alpha=\dfrac{1}{\sqrt3} \rightarrow \alpha=arctan\dfrac{1}{\sqrt3} \rightarrow \alpha=\dfrac{\pi}{6}$

Molto bene, abbiamo il raggio e l'angolo in tangente. Ora bisogna risolvere la disequazione partendo dalla seguente (dove indico n come il termine noto) disequazione di struttura e trovare i valori:

$$rsin{x+\alpha}=n$$

A sto punto sostituiamo e calcoliamolo:

$2sin\left({x+\dfrac{\pi}{6}}\right)=\sqrt3$

La prima soluzione sarà:

$x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3} \rightarrow x=\dfrac{\pi}{6}$

A me viene diversamente, questo risultato, probabilmente hai sbagliato a copiare.

La seconda soluzione sarà:

$x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{2\pi}{3} \rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}$

Al di là della prima soluzione, credo che le idee ti siano un pò più chiare.

Se hai altre domande fammelo sapere.

√3·SIN(x) + COS(x) = √3

Pongo:

√3·SIN(x) + COS(x) = r·SIN(x + φ)

a = √3

b = 1

r = √(a^2 + b^2)-----> r = √(√3^2 + 1^2)----> r = 2

2·SIN(x + φ) = 2·(SIN(x)·COS(φ) + SIN(φ)·COS(x))

2·COS(φ) = √3

2·SIN(φ) = 1

maggiori di zero: angolo del 1° quadrante

TAN(φ) = 1/√3-----> TAN(φ) = √3/3----> φ = pi/6

SIN(x + pi/6) = √3/2 quindi deve essere: 

x + pi/6 = 2/3·pi + 2·k·pi---------> x = 2·pi·k + pi/2

oppure

x + pi/6 = pi/3 + 2·k·pi----------> x = 2·pi·k + pi/6

---------------------------------------------------------------------------

SIN(x) - COS(x) = √2/2 (il COSENO è pari)

SIN(x) - COS(x) = r·SIN(x + φ)

r = √(a^2 + b^2)

a = 1

b = -1

r = √(1^2 + (-1)^2)---------> r = √2

√2·SIN(x + φ) = √2·(SIN(x)·COS(φ) + SIN(φ)·COS(x))

√2·COS(φ) = 1

√2·SIN(φ) = -1

angolo del 4° quadrante

TAN(φ) = -1------> φ = - pi/4

√2·SIN(x - pi/4) = √2/2------> quindi 2 possibilità:

x - pi/4 = 5/6·pi + 2·k·pi-------> x = 2·pi·k + 13·pi/12

oppure

x - pi/4 = pi/6 + 2·k·pi--------> x = 2·pi·k + 5·pi/12

La prima (V sta per radice quadrata)

V3 sin x + cos x = V3

Dividi per V(V3)^2 + 1^2 = V(3+1) = V4 = 2

V3/2 sin x + 1/2 cos x = V3/2

cos (TT/6) sin x + sin (TT/6) cos x = V3/2

sin (x + TT/6) = sin (TT/3)

x + TT/6 = TT/3 + 2 k TT => x = TT/6 + 2 k TT con k in Z

x + TT/6 = TT - TT/3 + 2 k TT => x = 2/3 TT - TT/6 + 2 k TT = TT/2 + 2 k TT con k in Z

La seconda, essendo cos(-x) = cos x, equivale a

sin x - cos x = V2/2

dividendo per V((1)^2 + (-1)^2) = V(1+1) = V2

V2/2 sin x - V2/2 cos x = 1/2

sin x cos (TT/4) - cos x sin (TT/4) = 1/2

sin (x - TT/4) = sin (TT/6)

da cui le soluzioni

x = TT/6 + TT/4 + 2 k TT = 5/12 TT + 2 k TT, con k in Z

x = TT - TT/6 + TT/4 + 2 k TT = 13/12 TT + 2 k TT, con k in Z

Il metodo dell'angolo aggiunto si basa sulla formula di addizione del seno
* sin(x + k) = cos(k)*sin(x) + sin(k)*cos(x)
e si usa per ridurre le combinazioni lineari di seno e coseno dello stesso argomento x a primo membro dell'equazione
* a*sin(x) + b*cos(x) = c
alla forma di solo seno, ma sfasato della variabile ausiliaria k e con una condizione restrittiva sui coefficienti (la somma dei quadrati dev'essere uno) a cui si soddisfà normalizzandoli
* a*sin(x) + b*cos(x) = c ≡
≡ (a/√(a^2 + b^2))*sin(x) + (b/√(a^2 + b^2))*cos(x) = c/√(a^2 + b^2) ≡
≡ A*sin(x) + B*cos(x) = C
così, ovviamente, si ha
* A^2 + B^2 = (a/√(a^2 + b^2))^2 + (b/√(a^2 + b^2))^2 = 1
* (A*sin(x) + B*cos(x) = C) & (A^2 + B^2 = 1) ≡
≡ (cos(k)*sin(x) + sin(k)*cos(x) = C) & (cos^2(k) + sin^2(k) = 1) ≡
≡ (sin(x + k) = C) & (Vero) ≡
≡ sin(x + k) = C
e questa è un'equazione elementare dove
* C = c/√(a^2 + b^2)
* k = arctg(b/a)
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ESERCIZI
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1) (√3)*sin(x) + cos(x) = √3
* (a, b, c) = (√3, 1, √3)
* √(a^2 + b^2) = √(3 + 1) = 2
* c/√(a^2 + b^2) = √3/2
* k = arctg(b/a) = arctg(1/√3) = π/6
* (√3)*sin(x) + cos(x) = √3 ≡
≡ sin(x + π/6) = √3/2 ≡
≡ x = 2*π*n + π/3 ± π/6
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2) sin(x) - cos(- x) = √2/2 ≡
≡ sin(x) - cos(x) = 1/√2
* (a, b, c) = (1, - 1, 1/√2)
* √(a^2 + b^2) = √(1 + 1) = √2
* c/√(a^2 + b^2) = 1/2
* k = arctg(b/a) = arctg(- 1) = - π/4
* sin(x) - cos(x) = 1/√2 ≡
≡ sin(x - π/4) = 1/2 ≡
≡ x = 2*π*n + (3/4)*π ± π/3