[Risolto] ROTAZIONI

@Chiarettah

L'area del triangolo è:

A= (OP * Y_P')/2 = 4

I lati del triangolo isoscele hanno lunghezza:

OP=OP' = 4

La base è 

PP' = 4* radice (2+radice (3)) =~ 7,72

Quindi il perimetro è

2p= 8+7,72 =~ 15,72 

Si tratta di due problemi distinti e indipendenti fra di loro e che, oltre che essere eticamente scorretto, è anche didatticamente controproducente proporre nello stesso esercizio come se fossero accoppiati o l'uno dipendente dall'altro.
Tanto per ribadirne l'indipendenza risolvo prima quello proposto per secondo.
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L'area S del triangolo che ha i vertici
* A ≡ P1(x1, y1), B ≡ P2(x2, y2), C ≡ P3(x3, y3)
è metà del valore assoluto di una semplice espressione delle coordinate
* S(ABC) = (1/2)*|x1*(y2 - y3) - x2*(y1 - y3) + x3*(y1 - y2)|
Se l'area è zero vuol dire che i tre punti sono allineati.
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PROBLEMA #2
Il triangolo di vertici
* A(0, 0), B(4, 0), C(- 2*√3, 2)
è, per costruzione, isoscele sul lato di base BC lungo
* a = |BC| = 4*√(2 + √3) = 2*(√2 + √6) ~= 7.7
mentre i lati di gamba AB e AC sono, ovviamente di lunghezza quattro
* b = |AC| = 4
* c = |AB| = 4
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Pertanto ha
* perimetro p = 8 + 4*√(2 + √3) ~= 15.7
* area S(ABC) = 4
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L'angolo α al vertice si ricava dal Teorema di Carnot
* a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos(α) ≡
≡ cos(α) = (b^2 + c^2 - a^2)/(2*b*c) ≡
≡ cos(α) = (4^2 + 4^2 - (4*√(2 + √3))^2)/(2*4*4) = - √3/2 ≡
≡ α = arccos(- √3/2) = (5/6)*π
o dal modulo del prodotto vettoriale fra i lati di gamba
* |a × b| = |a|*|b|*sin(α) ≡
≡ sin(α) = |a × b|/(|a|*|b|) = 2*S/(4*4) = 2*4/16 = 1/2 ≡
≡ α = π - arcsin(1/2) = (5/6)*π
dove si sceglie il supplementare dell'arcoseno perché a > b*√2
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Gli angoli β e γ alla base sono metà del supplementare di α
* β = γ = (π - (5/6)*π)/2 = π/12
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PROBLEMA #1
La generica rotazione
* (X = x*cos(θ) - y*sin(θ)) & (Y = x*sin(θ) + y*cos(θ))
applicata al punto P(4, 0) dà
* (X = 4*cos(θ)) & (Y = 4*sin(θ))
che, per essere P'(- 2*√3, 2) cioè per avere 0 <= θ < π, richiede
* (- 2*√3 = 4*cos(θ)) & (2 = 4*sin(θ)) & (0 <= θ < π) ≡
≡ (cos(θ) = - √3/2) & (sin(θ) = 1/2) & (0 <= θ < π) ≡
≡ θ = (5/6)*π