[Risolto] risolvi questa funzione

La funzione data si studia ridefinendola come distinzione di casi.
* f(x) = y = ln((x + 5)/(1 + |x - 3|)) ≡
≡ (x < 3) & (y = ln((x + 5)/(4 - x))) oppure (x >= 3) & (y = ln((x + 5)/(x - 2)))
---------------
Dal momento che "1 + |x - 3| >= 1 > 0" l'argomento è definito ovunque ed ha il segno del numeratore.
* per x < - 5: f(x) ha valore complesso: y = ln((5 - x)/(1 + |x - 3|)) + i*π;
* per x = - 5: f(x) è indefinita;
* per x > - 5: f(x) ha valore reale.
L'insieme DR di definizione reale è la semiretta x > - 5.
-----------------------------
Stante la consegna "se ne disegni un grafico qualitativo" (di punti reali!) basta studiare la funzione reale.
* f(x): (- 5 < x < 3) & (y = ln((x + 5)/(4 - x))) oppure (x >= 3) & (y = ln((x + 5)/(x - 2)))
* f'(x): (- 5 < x < 3) & (y' = 9/((x + 5)*(4 - x))) oppure (x >= 3) & (y' = 7/((x + 5)*(2 - x)))
* f''(x): (- 5 < x < 3) & (y'' = 9*(2*x + 1)/((x + 5)*(4 - x))^2) oppure (x >= 3) & (y'' = 7*(2*x + 3)/((x + 5)*(2 - x))^2)
---------------
* f(- 1/2) = 0
è l'unico zero ed è nel ramo - 5 < x < 3.
---------------
* f'(x) != 0 ∀ x ∈ DR
Il grafico non ha punti (minimi, massimi, flessi) a tangente orizzontale.
---------------
* (- 5 < x < 3) & f''(- 1/2) = 0; f'(- 1/2) = 4/9; f(- 1/2) = 0.
* (x >= 3) & f''(- 3/2) = 0; zero irrilevante.
Il grafico ha il solo punto di flesso F(- 1/2, 0) nell'unico zero, con tangente
* t ≡ y = 4*(x + 1/2)/9
---------------
* f(3): (- 5 < x < 3) & (y = 3*ln(2) ~= 2) oppure (x >= 3) & (y = 3*ln(2) ~= 2)
* f'(3): (- 5 < x < 3) & (y' = 9/8) oppure (x >= 3) & (y' = - 7/8)
All'ascissa x = 3 f(x) è continua, ma non derivabile: A(2, 3*ln(2)) è un punto angoloso.
---------------
Miscellanea
Il ramo sinistro ha l'ovvio asintoto verticale x = - 5, lo zero x = - 1/2 e l'intercetta f(0) = y = ln(5/4).
Il ramo destro, con 0 < y <= 3*ln(2) ~= 2, ha solo l'ovvio asintoto orizzontale y = 0.
Non ci sono altri limiti notevoli.
---------------
Grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y*%28x-3%29*%28x--5%29%3D0%2Cy-2%2F9%3D4*x%2F9%2Cy%3Dln%28%28x--5%29%2F%281--%7Cx-3%7C%29%29%5Dx%3D-6to14%2Cy%3D-6to4

Devi studiare due funzioni logaritmiche liberando il modulo:

y=

{LN((x + 5)/(x - 2)) per x ≥ 3

{LN((x + 5)/(4 - x)) per x<3

Alla fine ottieni il grafico:

Ci vuole un po' di tempo.... Adesso vado a nanna!