Risolvere problemi e costruire modelli.

a)  f(x) = k - {[ (e^x/5) + e^(-x/5) ] /2};

f(0) = 4, (massimo della curva in x = 0);

k - [(e^0 + e^0)/2] = 4;

k - 2/2 = 4;

k = 4 + 1 = 5 m;

f(x) = 5 - {[ (e^x/5) + e^(-x/5) ] /2}.

b) la corsia per i veicoli è larga 4 metri; il centro della corsia è - 2 m alla sinistra della figura;

y(-2) = 5 - [e^(-2/5) + e^(+2/5)]/2 = 5 - [e^-0,4 + e^0,4)/2]=

= 5 - [0,670 + 1,492]/2 = 5 - 2,162/2 =

= 5 - 1,081 = ~ 3.92 m;

 sottraiamo  0,50 m di sicurezza

h max = 3,92 - 0,50  = 3,42 m (altezza massima del veicolo).

c)

Area di una mezza facciata: integrale da x = 0, a x = + 8

y  = 5 m; retta che delimita il ponte in alto.

(e^x/5  è la derivata della funzione = 5 e^x/5 ).

∫[y(x) - f(x) dx = ∫5 - {5 -  [(e^(x/5) + e^(-x/5)]/2 } dx =

∫ 1/2 ∫ [(e^(x/5) + e^(-x/5)] dx =

=  1/2 [5 e^(x/5) - 5 e^(-x/5)]; mezza facciata da 0 m a 8 m (parte positiva)

=  5/2 * [e^(8/5)- e^(-8/5)] - [0 - 0 ]= 40 - 5/2 * [4,953 - 0,202] =

= 5/2 * 4,751 = 11,88 =  m^2;

Facciata intera = 2 * 11,88 = 23, 76 m^2;

Area delle due facciate, avanti e retro:

23,76 x 2 = 47,52 m^2

numero di litri di vernice = 47,52 / 0,3 = 158,40 litri ( per dipingere la facciata);

Un bidone contiene 30 litri /bidone? Non si legge bene nel testo

numero bidoni =158,40  : 30 =   5,28 bidoni.

Ci vogliono quindi più di 5 bidoni;  circa 6 bidoni.

[Ho sbagliato l'integrale? Si, avevo calcolato la luce del ponte, la parte vuota sottostante, sbaglio sempre ...].

ciao @alby

y = k - (e^(x/5) + e^(- x/5))/2

Funzione pari

Ricavo k imponendo il passaggio per il punto [0,4]

4 = k - (e^(0/5) + e^(- 0/5))/2

4 = k - 1----> k = 5 m

Quindi il profilo del ponte è descritto dalla funzione:

y = 5 - (e^(x/5) + e^(- x/5))/2  in m

L'altezza del ponte per x = -2 m (vedi in figura il mezzo pesante), vale:

y = 5 - (e^((-2)/5) + e^(- (-2)/5))/2 = 3.92 m circa

Tenendo conto del mezzo che ci deve passare sotto:

h = 3.92 - 0.5 = 3.42 m

che è l'altezza massima tollerabile per il mezzo.

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Per il calcolo dell'area di una delle due facciate bisogna fare l'integrale di:

5 - (5 - (e^(x/5) + e^(- x/5))/2) = e^(x/5)/2 + e^(- x/5)/2

per cui sfruttiamo il fatto della simmetria integrando:

∫(e^(x/5)/2 + e^(- x/5)/2) dx = 5·e^(x/5)/2 - 5·e^(- x/5)/2

fra x = 0 m ed x = 8 m

ottenendo per l'area A di una facciata:

(5·e^(8/5)/2 - 5·e^(- 8/5)/2 - 0)·2 =

= A = 5·e^(- 8/5)·(e^(16/5) - 1) in m^2

approssimata: 23.76 m^2

Complessivamente le facciate hanno area:

23.76·2 = 47.52 m^2

Quindi occorrono un numero di litri di vernice pari a:

47.52/0.3 = 158.4 litri

che corrispondono ad un numero di barili (ogni barile contiene 30 litri)

158.4/30 = 5.28-----> 6 barili

a) Posto f(0) = 4

risulta

4 = k - (1+1)/2

k = 4 + 1 = 5

b) Poni x = -2 in

y = 5 - (e^(x/5) + e^(-x/5))/2 ~ 3.92 m

infine sottrai gli 0.50 di sicurezza

Hm = 3.42 m circa

c)

S = S_[-8,8] [5 - 5 + (e^(x/5) + e^(-x/5))/2 ] dx =

= 2/2 S_[0,8] (e^(x/5) + e^(-x/5)) dx

= 1*5 [ e^(x/5) - e^(-x/5) ]_[0,8] =

= 5*(e^(8/5) - e^(-8/5)) =

= circa 23.76 m^2

d) leggo "30 litri".

Allora

St = 23.76*2 m^2 = 47.52 m^2

occorrono 47.52 : 0.3 = 158.40 litri

e nB = [ 158.40 : 30 ] + 1 = [5.28] + 1 = 5 + 1 = 6