[Risolto] Risoluzione di un'equazione con discussione URGENTE

La discussione di un'equazione di primo grado, in forma normale canonica,
* a*x + b = 0
dipende da come si combinano le nullità dei coefficienti.
0) (a != 0) & (b != 0) ≡ x = - b/a: equazione determinata
1) (a != 0) & (b = 0) ≡ x = 0: equazione determinata
2) (a = 0) & (b != 0) ≡ b = 0: equazione impossibile
3) (a = 0) & (b = 0) ≡ 0 = 0: equazione indeterminata
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L'equazione proposta
* x/(k^2 + k + 1) + 1/(k^3 - 1) = x/(1 - k)
è indefinita solo per k = ± 1 (k^2 + k + 1 >= 3/4 > 0) e si porta a forma normale canonica come segue.
* x/(k^2 + k + 1) + 1/(k^3 - 1) = x/(1 - k) ≡
≡ x/(k^2 + k + 1) + 1/(k^3 - 1) - x/(1 - k) = 0 ≡
≡ ((k^2 + 2*k)*x + 1)/((k - 1)*(k^2 + k + 1)) = 0
dove
* a = (k^2 + 2*k)/((k - 1)*(k^2 + k + 1))
* b = 1/((k - 1)*(k^2 + k + 1))
avendo escluso i valori k = ± 1, si vede che
* b != 0 per ogni k reale
* a = 0 per (k = - 2) oppure (k = 0)
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Quindi
CE) k = ± 1 ≡ equazione insensata
0) k non in {- 2, - 1, 0, 1} ≡ x = - 1/(k^2 + 2*k): equazione determinata
2) k in {- 2, 0} ≡ equazione impossibile

$$ \frac{x}{a^2+a+1} + \frac{1}{a^2-1} = \frac{x}{1-a} $$

$ \frac{x}{a^2+a+1} + \frac{1}{(a-1)(a+1)} = -\frac{x}{a-1} $

Condizioni di esistenza: $a \neq \pm 1 $

$ \frac{x(a-1)(a+1)+a^2+a+1}{(a^2+a+1)(a-1)(a+1)} = \frac{-x(a+1)(a^2+a+1)}{(a^2+a+1)(a-1)(a+1)} $

$ xa^2-x+a^2+a+1 = -x(a^3+2a^2+2a+1) $

$x(a^2-1+a^3+2a^2+2a+1) = -a^2-a-1$

$x (a^3+3a^2+2a)=-a^2-a-1 $

se $a^3+3a^2+2a \neq 0$ allora

$ x = \frac{-a^2-a-1}{a^3+3a^2+2a} $ è la soluzione

ma se $a^3+3a^2+2a = 0 \Rightarrow a(a^2+3a+2) = 0 \Rightarrow a = 0 \vee a= -1 \vee a =-2 $

Se $a = 0 \Rightarrow 0 = -1 \Rightarrow $ impossibile

Se $ a = -1 \Rightarrow $ non è definita perché sta nelle C.E.

Se $a = -2 \Rightarrow  0 = -4+2-1  \Rightarrow 0 = -3 $ impossibile

Grazie tante, molto gentile!