[Risolto] Richiesta matematica

@lydia

Ciao di nuovo. Si chiedono due cose: l'Hessiano ed i punti di sella.

Per fissare le idee, facciamo solo riferimento alle funzioni di 2 variabili, quindi nello spazio (x,y,z) rappresentabili da una superficie, in genere (ma non sempre così) continua, come ad esempio funzioni del tipo polinomiale (razionali intere) del tipo: z= P(x,y) di un certo grado.

Facciamo riferimento ad una funzione libera da vincoli ( se la funzione è vincolata con vincolo di uguaglianza fra le variabili x ed y in gioco si può fare riferimento ad un altro Hessiano detto orlato, ma quello è un'altra cosa!). Per tale funzione spesso si deve ricercare quello che si chiamano punti critici o punti di stazionarietà. Da un punto di vista geometrico in tali punti, se la funzione è continua assieme alle sue derivate, è possibile tracciare un piano tangente che è sempre di tipo orizzontale e quindi del tipo z= K con K costante. Tale valore numerico k può essere di 3 tipi:

max rel- min relativo- oppure rappresentare per la funzione in esame un punto di sella

Il nome punto di sella deriva dalla forma della superficie che, localmente, in corrispondenza di un punto critico trovato, assume la forma di ua sella di cavallo (concavità vero il basso in una direzione e concavità verso l'alto nella direzione ad essa perpendicolare).

Esempio:

z = x^3 - y^3 + x·y determinare i punti critici e classificarli

C.N.

{3·x^2 + y = 0     (Z'x=0)

{x - 3·y^2 = 0       (Z'y=0)

Risolvi ed ottieni:

x = 0 ∧ y = 0----------> (0,0)

v

x = 1/3 ∧ y = - 1/3-----> (1/3,-1/3)

Questi sono i punti critici a cui corrisponde un valore preciso della funzione. Ti chiedi qual è la natura di essi?

Ossia che tipo di punti sono fra i tre detti sopra.

Ecco allora che devi fare riferimento ad una funzione, detta Hessiano, che è nella sostanza un determinante del 2° ordine ricavabile dalle derivate parziali seconde della funzione stessa: H(x,y)=

|Z''xx..........Z''xy|

|Zyx............Z''yy|

Se nel punto in esame risulta:

H(x,y)>0 e Z''xx> 0---------> MIN REL

H(x,y)>0 e Z''xx<0 ----------> MAX REL

H(x,y)<0     ---------------> PUNTO DI SELLA

Nel caso in esame hai: H(x,y)=- 36·x·y - 1

|6·x........1|

|1.. (- 6·y)|

Nell'origine hai un punto di sella perché risulta:

H(0,0)=-1<0

In (1/3,-1/3) hai:

H(1/3,-1/3)=- 36·(1/3)·(- 1/3) - 1=3 >0 ed inoltre Z''(1/3,-1/3)=6*1/3=2>0    MIN REL in (1/3,-1/3)