[Risolto] Rette e trasformazioni nel piano cartesiano

la simmetria centrale di centro $P(1,1)$ si esprime secondo la trasfomrazione:

$x'=2-x$

$y'=2-y$

La generica retta passante per l'origine ha equazione $y=m_1x$, mentre la generica retta passante per $Q(1,3)$ ha equazione $y=m_2x+3-m_2$.

Trasformando $y=m_1x$ tramite la simmetria si ottiene $y'=m_1x'-2m_1+2$ e questa deve essere uguale a $y=m_2x+3-m_2$.

Si vede chiaramente che affinchè le due equazioni siano uguali deve essere $m_1=m_2$ e $3-m_2=2-2m_1$, da cui si ricava $m_1=m_2=-1$.

Andando a sostituire, le due rette hanno quindi equazione:

$y=-x$ e $y=-x+4$

Metodo alternativo (forse più semplice):

Si trova il simmetrico di $O(0,0)$ rispetto a $P$, che risulta essere $N(2,2)$.

Quindi una retta deve passare per $Q$ e per $N$, pertanto nell'equazione del fascio di rette per Q $y=m_2x+3-m_2$ basta sostituire a $x$ e a $y$ le coordinate di $N$:

$2=2m_2+3-m_2=m_2+3$ e quindi $m_2=-1$ e si ricava 

$y=-x+4$

Trovando il simmetrico di $Q$ rispetto a $P$ si ottiene $K(1,-1)$ e si impone che la retta passi per $O$ e $K$. Chiaramente si ottiene

$y=-x$