Da un punto $A(-5,-4)$ conduci la parallela $r$ e la perpendicolare $s$ alla retta t di equazione $y=2 x+1$. Detto $B$ il punto $d i$ intersezione di s e t e detti $C$ e $D_{i}$ punti di intersezione rispettivamente di t ed $r$ con l'asse delle ordinate, stabilisci che tipo $d i$ quadrilatero $e^{\prime} A B C D e$
calcolane l'area
7
punti
Livello 0
Ciao e benvenuto. Ti ricordo di leggere per bene il:
https://www.sosmatematica.it/regolamento/
e mettere in evidenze le difficoltà che hai incontrato nello svolgimento dell'esercizio.
Mi raccomando le prossime volte.
y = 2·x + 1----->m=2
retta parallela per A(-5, -4)
y + 4 = 2·(x + 5)-------->y = 2·x + 6
retta perpendicolare per A(-5,-4): m=-1/2 condizioni di perpendicolarità
y + 4 = - 1/2·(x + 5)------->y = - x/2 - 13/2
Per determinare gli altri tre punti risolvo tre sistemi:
{y = 2·x + 1
{y = - x/2 - 13/2
per sostituzione:2·x + 1 = - x/2 - 13/2---->2·x + x/2 = - 13/2 - 1----->5·x/2 = - 15/2
[x = -3 ∧ y = -5] -------->B(-3,-5)
Poi
{y = 2·x + 1
{x = 0 ------------> C(0,1)
Poi
{y = 2·x + 6
{x = 0 ------> D(0,6)
Quindi il quadrilatero è trapezio rettangolo per costruzione
L'area è data (metodo dell'allacciamento delle scarpe)
[-5, -4]
[-3, -5]
[0, 1]
[0, 6]
[-5, -4]
A = 1/2·ABS((-5)·(-5) + (-3)·1 + 0·6 + 0·(-4) +
- ((-5)·6 + 0·1 + 0·(-5) + (-3)·(-4)))
A = 20
In alternativa per l'area:
AD=√((0 + 5)^2 + (6 + 4)^2) = 5·√5 (base maggiore)
BC=√((0 + 3)^2 + (1 + 5)^2) = 3·√5 (base minore)
AB= √((-3 + 5)^2 + (-5 + 4)^2) = √5 (altezza )
A = 1/2·(5·√5 + 3·√5)·√5= 20
77428
punti
Genius II
equazione della retta r // a t e passante per A (stesso coeff. angolare di t) :
-4 = 2*-5+q'
q' = -4+10 = 6
y = 2x+6
equazione della retta s _l_ a t e passante per A (coeff. angolare -x/2):
-4 = -5/2+q''
q'' = -4-5/2 = -13/2
y = -x/2-13/2
coordinate di B (mettendo a sistema le equazioni delle rette s e t) :
2x+1 = -x/2-13/2
4x+x = -15
x = -15/5 = -3
y = -6+1 = -5
(-3 ; -5)
coordinate di C : (0 ; 1)
coordinate di D : (0 ; 6)
ABDC è un trapezio rettangolo con :
Base maggiore AD = 5√1+2^2 = 5√5
Base minore BC = 3√1+2^2 = 3√5
Altezza AB = √5
area A = (√5(5+3)*√5)/2 = 5*8/2 = 40/2 = 20
96805
punti
Genius II
Per il punto P(u, v) passano tutte e sole le rette:
* x = u, parallela all'asse y;
* p(k) ≡ y = v + k*(x - u), per ogni pendenza k reale.
------------------------------
Due rette sono parallele se e solo se hanno pendenze eguali: m' = m.
Due rette sono ortogonali se e solo se hanno pendenze antinverse: m' = - 1/m.
------------------------------
La retta
* t ≡ y = 2*x + 1
ha pendenza m = 2, come le sue parallele; le sue perpendicolari hanno pendenza m = - 1/2.
Quelle per A(- 5, - 4) devono quindi essere della forma
* p(k) ≡ y = k*(x + 5) - 4
* r ≡ p(2) ≡ y = 2*(x + 5) - 4
* s ≡ p(- 1/2) ≡ y = (- 1/2)*(x + 5) - 4
------------------------------
Le intersezioni prescritte sono
* B ≡ s & t ≡ (y = - (x + 13)/2) & (y = 2*x + 1) ≡ B(- 3, - 5)
* C ≡ t & asse y ≡ (y = 2*x + 1) & (x = 0) ≡ C(0, 1)
* D ≡ r & asse y ≡ (y = 2*x + 6) & (x = 0) ≡ D(0, 6)
------------------------------
I vertici
* A(- 5, - 4), B(- 3, - 5), C(0, 1), D(0, 6)
individuano un trapezio per la costruzione di r e t parallele (AD, BC); rettangolo per la costruzione di s e t ortogonali (AB, CD); non si tratta di un rettangolo perché A e B non hanno la stessa ascissa.
------------------------------
L'area S si calcola dalle coordinate dei vertici applicando la formula di Gauss
http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_dell%27area_di_Gauss
* S = 20
------------------------------
Vedi il grafico e il paragrafo "Properties" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=polygon%28-5%2C-4%29%2C%28-3%2C-5%29%2C%280%2C1%29%2C%280%2C6%29
51648
punti
Genius I
