[Risolto] RETTE

Useremo le formule parametriche, più semplici nel rappresentare i segmenti.

a. Equazione dei lati del triangolo.

• Lato AB. 
  • • vettore direzione retta AB. $ v_{AB} = B-A = (4, -2)  $
    • equazione del lato AB
    • $ \begin{cases} x = -1+4t \\ y = 4 -2t \end{cases}  $ con 0 ≤ t ≤ 1
    • Verifica.
      • • per t = 0 si ha (-1, 4) = A.  O.K.
        • per t = 1 si ha (3, 2) = B.  O.K.
    • Punto medio. E' sufficiente porre t = 1/2 ⇒ $M_{AB} = (1, 3) $

• Lato AC. 
  • • vettore direzione retta AC. $ v_{AC} = C-A = (2, 1) $
    • equazione del lato AC
    • $ \begin{cases} x = -1+2t \\ y = 4 +t \end{cases}  $ con 0 ≤ t ≤ 1
    • Verifica.
      • • per t = 0 si ha (-1, 4) = A.  O.K.
        • per t = 1 si ha (1, 5) = C.  O.K.
    • Punto medio. E' sufficiente porre t = 1/2 ⇒ $M_{AC} = (0, \frac{9}{2}) $

• Lato BC. 
  • • vettore direzione retta BC. $ v_{BC} = C - B = (-2, 3)  $
    • equazione del lato BC
    • $ \begin{cases} x = 3-2t \\ y = 2 +3t \end{cases}  $ con 0 ≤ t ≤ 1
    • Verifica.
      • • per t = 0 si ha (3, 2) = B.  O.K.
        • per t = 1 si ha (1, 5) = C.  O.K.
    • Punto medio. E' sufficiente porre t = 1/2 ⇒ $M_{BC} = (2, \frac{7}{2}) $

b. Equazioni delle mediane

• Mediana $B\,M_{AC} $
  • vettore direzione retta $B\,M_{AC}. \quad v_{B-AC} = M_{AC} - B = (-3, \frac{5}{2})  $
  • equazione della mediana con vertice in B
  • $ \begin{cases} x = 3-3t \\ y = 2 +\frac{5}{2}t \end{cases}  $ con 0 ≤ t ≤ 1
  • Verifica.
    • • per t = 0 si ha (3, 2) = B.  O.K.
      • per t = 1 si ha $(0, \frac{5}{2}) = M_{AC}$  O.K.

• Mediana $C\,M_{AB} $
  • vettore direzione retta $C\,M_{AB}. \quad v_{C-AB} = M_{AB} - C = (0, -2)  $
  • equazione della mediana con vertice in C
  • $ \begin{cases} x = 1 \\ y = 5 -2t \end{cases}  $ con 0 ≤ t ≤ 1
  • Verifica.
    • • per t = 0 si ha (1, 5) = C.  O.K.
      • per t = 1 si ha (1, 3) = $M_{AB}$  O.K.

• Mediana $A\,M_{BC} $
  • vettore direzione retta $A\,M_{BC}. \quad v_{A-BC} = M_{BC} - A = (3, -\frac{1}{2})  $
  • equazione della mediana con vertice in A
  • $ \begin{cases} x = -1 +3t \\ y = 4 -\frac{1}{2}t \end{cases}  $ con 0 ≤ t ≤ 1
  • Verifica.
    • • per t = 0 si ha (-1, 4) = A.  O.K.
      • per t = 1 si ha (2, 7/2) = $M_{BC}$  O.K.

c. Verifica Baricentro

Invece di risolvere i 3 sistemi composti dalle combinazioni delle tre mediane, procedura noiosa troviamo il punto di incontro tra due mediane (un solo sistema) e diamo per scontato che si tratta del baricentro. Puoi scrivere sulla falsariga della prima intersezione le altre due mentre noi ci accontentiamo di fare la verifica usando la formula del baricentro.

• Intersezione mediana da A con la mediana da C

Risolviamo il sistema composto dalle due equazioni parametriche. Nota importante, i parametri usati DEVONO avere notazione diversa per indicare i due parametri. Noi abbiamo scelto t e s.

$ \begin{cases} x = 1 \\ y = 5-2t \\ x = -1+3s \\ y = 4-\frac{1}{2}s \end{cases} $

per confronto

$ \begin{cases} 1 = -1+3s \\  5-2t  = 4-\frac{1}{2}s \end{cases} $

dalla prima segue che $ s = \frac{2}{3}$

Le coordinate dell'intersezione sono così

1. $ G_x = 1 $
2. $ G_y = 4-\frac{1}{2}s = 4-\frac{1}{2}\frac{2}{3} = \frac{11}{3} $

Ora le strade si dividono. L'esercizio chiede di ripetere la procedura precedente per ben 2 volte e così verificare che le coordinate del baricentro sono G(1, 11/3)

Ritengo più utile verificare la formula del baricentro noti i vertici del triangolo, cioè

$ G_x = \frac{A_x+B_x+C_x}{3} = \frac{-1+3+1}{3} = 1 $  O.K.

$ G_y = \frac{A_y+B_y+C_y}{3} = \frac{4+2+5}{3} = \frac{11}{3} $  O.K.