Rette

Per il punto P(2, 2) passano tutte e sole le rette
* (x = 2) oppure (r(m) ≡ y = 2 + m*(x - 2))
fra cui la prima non incontra l'asse y di cui è una parallela e, fra le seconde, la r(0) non incontra l'asse x di cui è una parallela; tutte le r(m) con m != 0 formano con i semiassi positivi, in quanto P è nel primo quadrante, un triangolo di area pari al semiprodotto delle intercette-cateti.
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Da
* y = 2 + m*(x - 2) ≡
≡ m*x - y = 2*(m - 1) ≡
≡ x/(2*(m - 1)/m) + y/(- 2*(m - 1)) = 1
si hanno le intersezioni
* X(2*(m - 1)/m, 0), Y(0, - 2*(m - 1))
con intercette entrambe positive se e solo se la pendenza di r(m) è negativa (m < 0).
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L'area S del triangolo OXY è
* S = (2*(m - 1)/m)*(- 2*(m - 1))/2 = - 2*(m - 1)^2/m
da cui il sistema risolutivo
* (- 2*(m - 1)^2/m = 8) & (m < 0) ≡
≡ (- 2*(m + 1)^2/m = 0) & (m < 0) ≡
≡ m = - 1
che dà le intersezioni e la retta richiesta
* X(4, 0), Y(0, 4)
* r(- 1) ≡ y = 4 - x
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle%280%2C0%29%284%2C0%29%280%2C4%29