Retta tangente

Due curve sono tangenti in un punto se hanno la stessa retta tangente in quel punto. Iniziamo con il trovare i punti in comune tra le curve:

$f(x)=g(x)$

$(x+1)^4+4=x^2+4x+5$

$x^2+4x+1=(x+1)^4$

Puoi sviluppare la quarta potenza di $x+1$ con il triangolo di Tartaglia.

$x^2+4x+1=x^4+4x^3+6x^2+4x+1$

$x^4+4x^3+5x^2=0$

$x^2(x^2+4x+5)=0$

$x^2=0 \lor x^2+4x+5=0$ 

Non esistono reali per cui il secondo fattore è positivo, quindi $x^2=0 \implies x=0$.

L'unico punto di contatto è $(0,g(0))=(0,5)$. Deriviamo le funzioni:

$g'(x)=4(x+1)^3$

$f'(x)=2(x+2)$

Per verificare basta eguagliare le derivate $g'(0)$ e $f'(0)$, perché sappiamo che entrambe le rette passano per il punto di ascissa $0$, se la derivata, che è il coefficiente angolare della retta, è comune, le rette tangenti coincidono. Sostituiamo:

$4(0+1)^3=2(0+2)$

$4=4$

I coefficienti angolari coincidono, quindi le rette tangenti sono comuni alle curve, allora le curve sono tangenti in quel punto.