Determina le condizioni sul parametro $h$ affinché il baricentro del triangolo di vertici $P(1+h ; 2)$, $Q(h-2 ; 2 h)$ e $R(-3 ; h+1)$ appartenga al secondo quadrante.
$[-1<h<2]$
Qualcuno potrebbe spiegarmi nel dettaglio come svolgere questo esercizio? Grazie
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Livello 0
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Livello 8
Spiegazione nel dettaglio
Rammentare ed applicare le definizioni delle entità nominate.
Risoluzione
Il baricentro è
* G = (P + Q + R)/3 = ((1 + h, 2) + (h - 2, 2*h) + (- 3, h + 1))/3 ≡
≡ G(2*(h - 2)/3, h + 1)
Il secondo quadrante è il luogo delle coordinate (x, y) con (x < 0) & (y > 0).
G cade nel secondo quadrante se e solo se
* (h - 2 < 0) & (h + 1 > 0) ≡
≡ (h < 2) & (h > - 1) ≡
≡ - 1 < h < 2
che è proprio il risultato atteso.
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Genius I
[1 + h, 2]
[h - 2, 2·h]
[-3, h + 1]
---------------------
{xG=(1 + h + h - 2 - 3)/3 = 2·(h - 2)/3
{yG=(2 + 2·h + h + 1)/3 = h + 1
per appartenere a secondo quadrante deve risultare:
{2·(h - 2)/3 < 0
{h + 1 > 0
risolvi ed ottieni: [-1 < h < 2]
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Genius III
Ciao, anzitutto calcoliamo le coordinate del baricentro del triangolo:
$$ x_{G}=\frac{x_{P}+x_{Q}+x_{R}}{3}=\frac{1+h+h-2-3}{3}=\frac{2h-4}{3} $$
$$ y_{G}=\frac{y_{P}+y_{Q}+y_{R}}{3}=\frac{2+2h+h+1}{3}=\frac{3h+3}{3}=h+1 $$
quindi $$ G\left(\frac{2h-4}{2};h+1\right) $$
===
Per far si che il baricentro G del triangolo appartenga al secondo quadrante deve risultare $$ x<0\land y>0 $$
dunque:
$$ \frac{2h-4}{3}<0\land h+1>0 $$
$$ h<2\land h>-1 $$
risolvendo la disequazione ottieni quindi:
$$ -1<h<2 $$
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Livello 2
