Retta

5·k·x - (k + 4)·y - 2 = 0

perpendicolare a

3·x + 5·y - 1 = 0

Deve essere:

5·k·3 - (k + 4)·5 = 0

10·k - 20 = 0---> k = 2

5·2·x - (2 + 4)·y - 2 = 0

10·x - 6·y - 2 = 0---> 5·x - 3·y - 1 = 0

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parallela a 

x - y = 0

Deve essere:

5·k/1 = - (k + 4)/(-1)

5·k = k + 4---> k = 1

5·1·x - (1 + 4)·y - 2 = 0---> 5·x - 5·y = 2

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passante per [- 1/5, 1]

5·k·(- 1/5) - (k + 4)·1 - 2 = 0--->k = -3

5·(-3)·x - (-3 + 4)·y - 2 = 0

- 15·x - y - 2 = 0

15·x + y + 2 = 0

Ciao, ti rispondo ad ogni punto del problema:

a) ricaviamo il coefficiente angolare del fascio portando nell'altro membro il termine con y e dividendo per il suo coefficiente, quindi:

$$ m=\frac{5k}{k+4}\land k\ne-4 $$

il coefficiente angolare della retta data è 

$$ y=-\frac35x+\frac15 $$

$$ m_{retta}=-\frac35 $$

quindi se 

$$ mm^{\prime}=-1 $$

allora m deve essere:

$$ m=\frac53 $$

uguagliando questo coefficiente della retta perpendicolare con quello generico del fascio:

$$ \frac53=\frac{5k}{k+4} $$

$$ k=2 $$

quindi sostituendo:

$$ 10x-6y-2=0 $$

$$ 5x-3y-1=0 $$

b) se la retta del fascio deve essere parallela alla retta x-y=0, in forma esplicita y=x, allora il coefficiente angolare generico del fascio deve essere uguale ad 1:

$$ 1=\frac{5k}{k+4} $$

$$ k=1 $$

quindi sostituendo:

$$ 5x-5y-2=0 $$

c) sostituisci le coordinate del punto e ricavi k:

$$ 5\left(-\frac15\right)k-\left(k+4\right)\cdot1-2=0 $$

$$ -2k-6=0 $$

$$ k=-3 $$

sostituendo il valore di k:

$$ -15x-y-2=0 $$

$$ 15x+y+2=0 $$

5kx - (k + 4)y - 2 = 0;

y (k + 4) = 5kx - 2;

y = (5kx - 2) / (k + 4);

y = 5kx / (k + 4)  - 2/( k + 4);

y = m x + q; forma esplicita della retta,

m = 5k / (k + 4);

retta perpendicolare alla retta:

r) 3x + 5y - 1 = 0;

5y = - 3x + 1;

y = - 3/5 x  + 1/5;  m' = - 3/5;

rette perpendicolari se m * m' = - 1;      (- 3/5) * (+ 5/3) = - 1

m = + 5/3; coefficiente della retta del fascio;

5k / (k + 4) = + 5/3;

k / (k + 4) = 1/3;

3k = k + 4;

2k = 4;

k = 4/2 = 2;

5kx - (k + 4)y - 2 = 0;

10x - 6y - 2 = 0;

5x - 3y - 1 = 0; (retta perpendicolare).

b) parallela alla retta x - y = 0;

r) y = x; è la bisettrice del primo e terzo quadrante;

y = m x;

m = 1; le parallele hanno lo stesso coefficiente angolare m; (stessa pendenza).

y = 5kx / (k + 4)  - 2/( k + 4);

5k / (k + 4) = 1;

5k = k + 4;

5k - k = 4;

4k = 4;

k = 1;

5kx - (k + 4)y - 2 = 0; retta del fascio;

5x - (1 + 4)y - 2 = 0;

5x - 5 y - 2 = 0;

c) retta che passa per [- 1/5; 1];

5kx - (k + 4)y - 2 = 0; sostituiamo x = - 1/5 e y = 1,  nell'equazione:

5k * (- 1/5) - (k + 4) * 1 - 2 = 0;

- k - k - 4 - 2 = 0;

- 2k = 4 + 2;

2k = - 6;

k = - 6/2 = - 3,

- 15x - (-3 + 4)y - 2 = 0;

- 15x - y - 2 = 0; cambiamo i segni:

15x + y + 2 = 0.

Ciao  @saraaaaaaaaaaaaaaaaaaa