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Realtà e Mdelli, Integrali

y = a·x^2 + b·x + c

mi riferisco alla 2^ figura a destra

V [0, R]

A [-h, r]

B [h, r]

b = 0 perché la parabola è simmetrica rispetto ad y

passa per B, quindi:

r = a·h^2 + R-----> a = (r - R)/h^2

quindi: y = (r - R)/h^2·x^2 + R

Calcolo volume:

Si tratta di integrare la funzione:

pi·((r - R)/h^2·x^2 + R)^2 =

= pi·x^4·(R - r)^2/h^4 + 2·pi·r·x^2·(r - R)/h^2 + pi·R^2

∫(pi·x^4·(R - r)^2/h^4 + 2·pi·R·x^2·(r - R)/h^2 + pi·R^2) dx=

=pi·x^5·(R - r)^2/(5·h^4) + 2·pi·R·x^3·(r - R)/(3·h^2) + pi·R^2·x

fra x = -h ed x = h

pi·h^5·(R - r)^2/(5·h^4) + 2·pi·R·h^3·(r - R)/(3·h^2) + pi·R^2·h=

=pi·h·(8·R^2 + 4·R·r + 3·r^2)/15

pi·(-h)^5·(R - r)^2/(5·h^4) + 2·pi·R·(-h)^3·(r - R)/(3·h^2) + pi·r^2·(-h)=

=- pi·h·(8·R^2 + 4·R·r + 3·r^2)/15

Quindi:

V= 2·pi·h·(8·R^2 + 4·R·r + 3·r^2)/15

Posto:

r = 3 dm

R = 4 dm

h = 5 dm

Si ottiene:

V = 2·pi·5·(8·4^2 + 4·4·3 + 3·3^2)/15

V = 425.16 dm^3 circa=425.2 l circa