Realtà e modelli, integrali

Questo lo avevo fatto, ma non l'ho trovato nei miei appunti né sul sito. 

Saranno 2 o 3 mesi.

Ora lo rifaccio, ma cerca di trovarlo perché mi piaceva di più il metodo che avevo usato lì.

Problema:

Un acquario ha la forma di una calotta sferica a due basi. La calotta appartiene a una sfera di $15 cm$ e la base dell'acquario è un cerchio di raggio $9 cm$. Se il livello dell'acqua nell'acquario è a $15 cm$ dal fondo, quanti litri di acqua sono contenuti nell'acquario? Risolvere il problema tramite il calcolo di un opportuno integrale.

Soluzione:

♪How high the moon, does it reach the stars...♪

Il trucco per risolvere il quesito è disegnare il profilo dell'acquario orizzontalmente sugli assi cartesiani centrato nell'origine. Il profilo della sfera è una circonferenza di raggio $15 cm$, $π:x²+y²=15²$, e l'acqua parte da un punto prima dell'origine fino al punto in cui l'altezza della curva che delinea la circonferenza dista $9cm$ dall'asse delle ascisse. Per individuare il punto esatto è necessario sostituire in $π$ $y=9$:

$x²+81=225 \to x²=144 \to x=\pm 12$. Il punto cercato è dunque $(12, 9)$. Dato che l'altezza dell'acqua è $15cm$, il punto dove essa inizia ad essere presente è $(-3,y)$.

Utilizzando la formula del volume per i solidi di rotazione si ottiene:

$V=π\int_{-3}^{12} (225-x²) dx = 2790π cm^3=8,76L$