Radicali con condizioni di esistenza

Sotto il segno di radice quadrata  non deve esserci un numero negativo, deve  essere maggiore o uguale a 0.

1 - 1/x^2 > = 0;

x^2 - 1 >=0;

x^2>= 1;

x = + 1;

x = -1;

 x <= - 1; x >= +1;

1 + 1/x > = 0

(x + 1) / x > 0;

x diverso da 0;

x > - 1;

x > 0 ;

Intersecando Per i primi due radicali deve essere

x > = +1;

nel terzo al denominatore c'è x -1;

x - 1 diverso da 0;

x diverso da 1;

quindi x > +1

 

 

Lo feci un po’ di tempo fa a scuola…dovrebbe essere corretto

I radicali, essendo potenze con esponente razionale, sono definiti ovunque lo siano i loro radicandi; quindi non ha molto senso nominare le LORO condizioni d'esistenza. Le condizioni d'esistenza da calcolare sono quelle dei radicandi. Per i radicali d'indice pari (cioè che hanno pari il denominatore dell'esponente razionale) può essere di qualche interesse evidenziare l'insieme di definizione reale che si ottiene escludendo dall'insieme di definizione i valori di x per cui almeno un radicando dell'espressione assuma valore negativo in quanto in quel caso il radicale d'indice pari assume valore immaginario.
Per trattare l'espressione in esame
22) √(1 - 1/x^2) : √(1 + 1/x) * (x^2)^(1/3)/(x - 1)
si procede come segue.
---------------
A) Insieme di definizione: nessun denominatore/divisore nullo.
* (x^2 != 0) & (x != 0) & (x - 1 != 0) & (√(1 + 1/x) * (x^2)^(1/3)/(x - 1) != 0) ≡
≡ (x < - 1) oppure (0 < x < 1) oppure (x > 1) ≡
≡ x ∉ {0, 1}
---------------
B) Insieme di definizione reale: nessun radicando negativo sotto indice pari, nell'insieme di definizione.
* (1 - 1/x^2 >= 0) & (1 + 1/x >= 0) & (x ∉ {0, 1}) ≡
≡ ((x <= - 1) oppure (x >= 1)) & ((x <= - 1) oppure (x > 0)) & (x ∉ {0, 1}) ≡
≡ ((x < - 1) oppure (x > 1)) & ((x < - 1) oppure (x > 0)) ≡
≡ (x < - 1) & ((x < - 1) oppure (x > 0)) oppure (x > 1) & ((x < - 1) oppure (x > 0)) ≡
≡ (x < - 1) & (x < - 1) oppure (x < - 1) & (x > 0) oppure (x > 1) & (x < - 1) oppure (x > 1) & (x > 0) ≡
≡ (x < - 1) oppure (insieme vuoto) oppure (insieme vuoto) oppure (x > 1) ≡
≡ (x < - 1) oppure (x > 1) ≡
≡ x ∉ [0, 1]
---------------
C) Una possibile "semplificazione"
22) √(1 - 1/x^2) : √(1 + 1/x) * (x^2)^(1/3)/(x - 1) =
= (x - 1)*√(x^2 - 1)/((|x|^(5/3))*√(1/x + 1)