[Risolto] Quesito sulla concavità

In italiano si dice "Dimostrare che f non può essere concava."
In linea di massima, ogni volta che non si sa come ragionare, è consigliabile iniziare dal rammentare tutte le definizioni delle entità coinvolte e da lì procedere a passi il più piccoli possibile: di solito, in qualche modo si conclude.
In questo caso si conclude subito con un passo solo.
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A) La funzione f a valori reali definita su un insieme C convesso, f: C → R, è concava se e solo se per ogni tripla (a, b, k), con a != b in C e k reale in [0, 1] si ha
* f(k*b + (1 - k)*a) >= k*f(b) + (1 - k)*f(a)
Se C è un intervallo chiuso di R ciò vuol dire che il grafico di R sovrasta ogni sua corda.
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B) La funzione f(x) a valori reali definita nell'intervallo x ∈ [u, v] è tale in quanto ogni x = h, con h ∈ [u, v], ha meno di due intersezioni col grafico di f.
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Esercizio
Sia f una funzione a valori reali definita nell'intervallo [0, 2]
tale che f(0) = 1, f(1) = - 1 e f(2) = 2
Dimostrare che f non può essere concava.
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La consegna significa "Confutare che f possa essere concava."
La più rigorosa delle confutazioni è l'esibizione di un contresempio.
Contresempio: almeno la corda congiungente gli estremi sovrasta il grafico.
QED

La funzione presenta un tratto decrescente a sinistra ed uno

crescente a destra anche se non sai dove ha inizio.

Allora la derivata prima passa da negativa a positiva per cui é

crescente e la seconda se esiste é positiva.

La funzione é quindi convessa.