Considera la funzione
f(x)=(x^3 - 4x^2)/p(x)
dove p(x) è un polinomio.
Determina p(x) sapendo che il grafico di f(x) presenta un asintoto obliquo di equazione y = 2x + 1 e che in x = 4 presenta un punto di singolarità eliminabile.
Ricava le equazioni degli eventuali altri asintoti e le coordinate degli eventuali massimi e minimi relativi della funzione f (x).
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Livello 1
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La funzione deve essere del tipo:
y = (x^3 - 4·x^2)/(2·x^2 + b·x + c)
Determino m
LIM(1/x·((x^3 - 4·x^2)/(2·x^2 + b·x + c))) =1/2
x--->∞
Determino q
(x^3 - 4·x^2)/(2·x^2 + b·x + c) - 1/2·x = q
limite per x--->∞
- x·(x·(b + 8) + c)/(2·(2·x^2 + b·x + c)) = q = 1
LIM(- x·(x·(b + 8) + c)/(2·(2·x^2 + b·x + c))) = - (b + 8)/4
x---> ∞
- (b + 8)/4 = 1----> b = -12
y = (x^3 - 4·x^2)/(2·x^2 - 12·x + c)
y = x^2·(x - 4)/(2·x^2 - 12·x + c)
Per avere tale funzione una discontinuità di 3^specie, quindi eliminabile; il denominatore deve potersi scrivere come:
2·x^2 - 12·x + c = (x - 4)·(2·x - α)
(in modo tale che il rapporto sia semplificabile). Quindi:
2·x^2 - 12·x + c = 2·x^2 - x·(α + 8) + 4·α
Quindi:
{α + 8 = 12
{4·α = c
Risolvo ed ottengo:
[c = 16 ∧ α = 4]
La funzione è quindi:
y = (x^3 - 4·x^2)/(2·x^2 - 12·x + 16)
equivalente a scrivere un'iperbole non equilatera:
y = x^2/(2·x - 4) privata del punto A(4,4):
In figura ho messo anche le altre richieste del problema: x=2 costituisce asintoto verticale, poi riformulando la definizione della funzione si ottengono: il massimo relativo in B(0,0) ed il minimo relativo in A
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Genius II
@lucianop scusami, non ho capito una cosa, cosa significa il primo passaggio quando dici la funzione deve essere del tipo?
Il polinomio p(x) deve essere di 2° grado, proprio perché il quoziente che indica la funzione in studio deve essere di 1° grado. Poi si procede con il metodo classico dei due limiti che dovresti conoscere bene per individuare l'eventuale asintoto obliquo.
