Quesito, calcolo differenziale.

(Ho apportato modifiche alla scala del piano cartesiano per rendere più visibile l'andamento della funzione)

Guarda il grafico della funzione, $f(t)$ è continua in $(0, + \infty)$, ma non è sempre derivabile, infatti se vogliamo derivare $f(t)$ in $t=20$ e $t=30$, notiamo che la derivata destra non coincide con la derivata sinistra, possiamo verificarlo algebricamente:

$\lim _{t \to 20^-} \frac{d}{dt} 100 \cdot 2^t = \lim_{t \to 20^+} \frac{d}{dt} 100 \cdot 2 ^{20}$

$\lim_{t \to 20^-}  \frac{d}{dt} 100 \cdot e^{t\ln(2)} = 0$

$\lim_{t \to 20^-} 100 \cdot 2^t \ln(2) = 0$

$100 \cdot 2^{20} \ln(2)=0$

che è falso.

Dato che la derivata destra e la derivata sinistra sono entrambe finite e non coincidono, siamo in presenza di un punto angoloso. 

Si può verificare la stessa cosa nel caso di $t=30$:

$\lim_{t \to 30^-} \frac{d}{dt} 100 \cdot 2^{20} = \lim_{t \to 30^+} \frac{d}{dt} 100 \cdot 2^{\frac{t-30}{2}}$

$0=\lim_{t \to 30^+} \frac{d}{dt} 100 \cdot 2^{\frac{t}{2}} \cdot 2^{-15}$

$\lim_{t \to 30^+} \frac{d}{dt} 25 \cdot 2^{-13} \cdot 2^{\frac{t}{2}}=0$

$\lim_{t \to 30^+} 25 \cdot 2^{-13} \cdot \frac{\ln(2)}{2}2^{\frac{t}{2}}=0$

$\lim_{t \to 30^+} 25 \cdot 2^{\frac{t}{2}-14} \ln(2) =0$

$25 \cdot 2^{\frac{30}{2}-14} \ln(2)=0$

$25 \cdot 2 ^1 \ln(2)=0$

$50 \ln(2) =0$

che è falso. 

Dato che la derivata destra e la derivata sinistra sono entrambe finite e non coincidono, siamo di nuovo in presenza di un punto angoloso.

Essendo le sottofunzioni con cui è definita $f(t)$ crescenti monotone, non ha senso controllare tra i valori compresi negli intervalli di ciascuna funzione, e nemmeno un intervallo con estremi in sottofunzioni diverse (per i punti di non derivabilità che abbiamo trovato che saranno necessariamente compresi in ogni intervallo di questo tipo). L'unica eccezione che si può fare è nell'intervallo $[a,b]$ con $20\leq a < 30 \land a < b \leq 30$ (vale a dire in ogni sottointervallo di $[20,30]$), perché lì sono soddisfatte tutte le premesse del teorema di Rolle. Tuttavia, l'applicazione è banale perché $f(t)$ è costante in quegli intervalli, quindi $f'(t)=0, \forall t \in (a,b)$.