Quesiti matematica

Considera la curva di equazione $x^2-xy-3x-y+2=0$. Dopo averla scritta in forma esplicita, determina l'asintoto obliquo.

Per scrivere l'equazione in forma esplicita, dobbiamo isolare una delle due incognite, in genere la y.

Dunque:

$-xy-y = -x^2 + 3x -2$

Mettiamo la y in evidenza:

$y(-x-1) = -x^2 + 3x -2$

e isoliamola dividendo per il coefficiente:

$y = \frac{-x^2+3x-2}{-x-1}$

 

Ora cerchiamo l'asintoto obliquo, determinando, se esistono finiti, m e q.

$m=lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x}$

$m=lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{-x^2+3x-2}{x(-x-1)}$

$m=lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{-x^2+3x-2}{-x^2-x}$

Poiché otteniamo una forma inf/inf, mettendo in evidenza il termine di grado più alto e semplificando i termini che tendono a zero otteniamo:

$m=lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{-x^2(1+3/x-2/x^2}{x^2(-1-1/x)}$

$m=lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{-x^2}{-x^2} = 1$

 

Passiamo alla q:

$q=lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) - mx$

$q=lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{-x^2+3x-2}{-x-1} - x$

$q=lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{-x^2+3x-2+x^2+x}{-x-1}$

$q=lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{4x-2}{-x-1} = -4$

 

Puoi verificare facilmente che per $x\rightarrow -\infty$ i risultati sono gli stessi.

Quindi l'asintoto obliquo è $y=x-4$

 

La posizione di una particella di massa 3mg è data da $s(t)=20(2e^{-t/2}+t-2)$.

Qual è la sua velocità, la sua accelerazione e la sua energia cinetica a t=4 s ?

La velocità è la derivata prima rispetto al tempo dello spostamento:

$v(t)= s'(t)= 20(2e^{-t/2} (-1/2) +1) = 20(-e^{-t/2} +1)$

Quindi 

$v(4)= 20(-e^{-2}+1) = 17.3 m/s$

L'accelerazione è la derivata seconda:

$a(t)= v'(t)= 20(-e^{-t/2}(-1/2)) = 20(1/2 e^{-t/2}) = 10 e^{-t/2} $

Quindi

$a(4)= 10 e^{-2} = 1.35 m/s^2$

Infine l'energia cinetica è data da:

$E(t)= \frac{1}{2} m [v(t)]^2$

Dunque:

$E(4)= \frac{1}{2} 3 \cdot 10^{-6} Kg \cdot (17.3 m/s)^2 = 0.0045 J = 4 \cdot 10^{-3} J$

 

Noemi

@francesca23

Ciao di nuovo.

1° quesito 

la funzione è razionale fratta: 

x^2 - x·y - 3·x - y + 2 = 0------> y = (x^2 - 3·x + 2)/(x + 1)

quindi un'iperbole non equilatera con asintoti:

x+1=0   ------> x = -1

ed un asintoto obliquo che può in questo caso calcolarsi come il Quoziente della divisione espressa al 2° membro. Quindi nella sostanza anziché determinarlo con il metodo generale proposto da @n_f effettuiamo la divisione fra i due termini del rapporto ed otteniamo:

{Q(x)= x-4

{R=6

quindi la funzione data si può scrivere come: y = 6/(x + 1) + x - 4

che per x---->inf(+/-) determina l'asintoto obliquo y= x-4

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2° quesito

s = 20·(2·e^(- t/2) + t - 2)

valutiamo le due derivate:

s'=ds/dt= 20 - 20·e^(- t/2) = v : velocità del punto materiale

s''= dv/dt =10·e^(- t/2) = a : accelerazione del punto materiale

Quindi per t=4 s:

v=20 - 20·e^(- 4/2)= 20 - 20·e^(-2)----->  v = 17.293 m/s

a= 10·e^(- 4/2) = 10·e^(-2)------> a = 1.353 m/s^2

Ec = 1/2·m·v^2

m = 3·10^(-6) kg ; v = 17.293 m/s

Ec= 1/2·(3·10^(-6))·17.293^2= 0.0004486 = 4.486·10^(-4) J

 

Il quesito #6 è abbastanza stupidotto, quasi banale.
Se il punto materiale di massa m = 3/10^6 kg ha posizione
* s(t) = 20*(2*e^(- t/2) + t - 2)
deve avere velocità
* v(t) = ds/dt = - 20*(e^(-t/2) - 1)
e accelerazione
* a(t) = dv/dt = 10*e^(-t/2)
All'istante t = 4 s la velocità è
* V = v(4) = - 20*(e^(- 4/2) - 1) = 20*(e + 1)*(e - 1)/e^2 ~= 17.29 m/s
e l'energia cinetica
* E = m*V^2/2 = (3/10^6)*(20*(e + 1)*(e - 1)/e^2)^2/2 =
= 3*(e^2 - 1)^2/(5000*e^4) ~= 0.000448587 ~= 449 μJ
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Il quesito #5 invece è proprio stupido, direi demente.
"Considera la curva di equazione ..." CHE MINCHIAZZA DI CONSEGNA VUOL ESSERE?
Io la posso riscrivere più elegantemente con sintassi da espressioni
* Γ ≡ x^2 - x*y - 3*x - y + 2 = 0
e poi devotamente declamare
«Nel sesto mistero glorioso si contempla l'iperbole Gamma che (avendo centro C(- 1, - 5), asse trasverso sulla y = (√2 + 1)*x + (√2 - 4), asintoti x = - 1 e y = x - 4)
s'assise nella gloria della sua sbilenchità.» Gloria ... etc.
ma non ho certezza che la devota contemplazione soddisfaccia all'imperativo "considera!".
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Solo lievemente meno demente è la seconda consegna
* "Dopo averla espressa in forma esplicita"
anche se la sintassi riferisce "espressa" a "curva" e non ad "equazione" come sarebbe logico, ci si può sopravvolare: non si può pretendere che l'autore di un libro di testo usi correttamente la lingua d'insegnamento, che diamine!
A tale consegna non solo è facile soddisfare, ma lo si può fare in tre modi
* Γ', Γ'' ≡ x = (y + 3 ± √(y^2 + 10*y + 1))/2
* Γ''' ≡ (y = (x^2 - 3*x + 2)/(x + 1)) & (x != - 1)
e, ci fossero stati parametri, anche in più modi!
E' UNA CONSEGNA EQUIVOCA quindi non scientifica, ma letteraria.
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Finalmente la terza consegna è un esercizio di Matematica
* "determina l'asintoto obliquo"
in quanto chiarisce le intenzioni dell'autore:
* della devota contemplazione se n'impippa;
* è interessato alla sola forma Γ'''.
E PORCA PALETTA, NON LO POTEVA SCRIVERE SUBITO?
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Da
* f(x) = y = (x^2 - 3*x + 2)/(x + 1)
si ha
* lim_(x → ∞) f(x)/x = 1 = m
perché numeratore e denominatore sono dello stesso grado con lo stesso coefficiente direttore, e si ha anche
* lim_(x → ∞) (f(x) - m*x) = lim_(x → ∞) (6/(x + 1) - 4) = - 4 = q
da cui l'asintoto contemplato nel sesto mistero glorioso.