qualcuno mi aiuta a risolvere la 806? grazie

Riscriviamola come

$\sqrt{x+1} \le \sqrt{2x}-1 $

Verrà trattata come una disequazione irrazionale del tipo $\sqrt{f(x)} \le g(x) $. In tal caso l'equazione è equivalente al sistema

$ \begin{cases} x+1 \ge 0 \\\sqrt{2x}-1 > 0 \\x+1 \le ( \sqrt{2x}-1)^2  \end{cases} $

1. dalla prima segue che x ≥ -1
2. dalla seconda x > 1/2
3. dalla terza $x +1 \le 2x+1-2\sqrt{2x}$

$ x \le 2x-  2\sqrt{2x}$
$ x \ge 2\sqrt{2x} $
$ \sqrt{x} \ge \sqrt{8x} $
$ x \ge 8$

Intersecando i tre insiemi risultati si ha 

$ x \ge 8$

Leggendo da destra verso sinistra, puoi scrivere l'equivalente

$\sqrt{x+1} \leq \sqrt{2x}-1$

Quindi poniamo:

$\begin{cases} x+1 \geq 0 \\ 2x \geq 0 \\ \sqrt{2x}-1 \geq 0 \\ x+1 \leq 2x+1 -2\sqrt{2x} \end{cases}$

$\begin{cases} x \geq -1 \\ x \geq 0 \\ \sqrt{2x} \geq 1 \\ 2\sqrt{2x} \leq x \end{cases}$

$\begin{cases} x \geq -1 \\ x \geq 0 \\2x \geq 1 \\ 2 \sqrt{2x} \leq x \end{cases}$

$\begin{cases} x \geq -1 \\ x \geq 0 \\ x \geq \frac{1}{2} \\ 2 \sqrt{2x} \leq x \end{cases}$

È superfluo porre le condizioni necessarie sull'ultima equazione irrazionale perché coincidono con le condizioni già poste in principio, quindi semplifichiamo prendendo la disuguaglianza più restrittiva (perché chiaramente un numero maggiore di $\frac{1}{2}$ è automaticamente maggiore di $0$ e di $-1$ dato che $\frac{1}{2}>0>-1$, aggiungendo $x >\frac{1}{2}$ abbiamo che $x>\frac{1}{2}>0>-1$ che quindi rispetta tutte le condizioni) ed eleviamo al quadrato:

$\begin{cases} x \geq \frac{1}{2} \\ 4 \cdot 2x \leq x^2 \end{cases}$

$\begin{cases} x \geq \frac{1}{2} \\ x^2-8x \geq 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x \geq \frac{1}{2} \\ x(x-8) \geq 0 \end{cases}$
Per la regola della concordanza dei segni, le soluzioni sono esterne e sono $ x \leq 0 \lor x \geq 8$, quindi

$\begin{cases} x \geq \frac{1}{2} \\ x \leq 0 \lor x \geq 8 \end{cases}$

Si vede banalmente come $x>8>\frac{1}{2}$ rispetti tutte le condizioni, da cui la soluzione $x>8$.

Questo grafico dimostra la correttezza della risposta:

(come vedi, per $x>8$, i punti verdi appartenti a $\sqrt{2x}-1$ hanno ordinata maggiore di $\sqrt{x+1}$, vale a dire che $\sqrt{2x}-1 > \sqrt{x+1} \implies x>8$)