A) Dal grafico si rilevano un po' di cose su cui basare la risposta.
A1) La retta r congiunge (- 3, - 1) con (0, 0)
* r ≡ y = x/3 ≡ x = 3*y
A2) Il punto P, di ascissa 6, è su r: P(6, 2).
A3) La parabola γ1 ha asse parallelo all'asse x, quindi equazione di forma
* γ1 ≡ x = w + a*(y - h)^2
in funzione delle coordinate del vertice V(w, h) e dell'apertura a > 0, perché la curva volge la concavità verso x > 0.
A4) Il punto (4, 0) appartiene a γ1, il che impone il vincolo
* 4 = w + a*(0 - h)^2 ≡ w = 4 - a*h^2
da cui
* γ1 ≡ x = 4 - a*h^2 + a*(y - h)^2 ≡ x = 4 + a*(y^2 - 2*h*y)
A5) Il punto P(6, 2) appartiene a γ1, il che impone il vincolo
* 6 = 4 + a*(2^2 - 2*h*2) ≡ h = (2*a - 1)/(2*a)
da cui
* γ1 ≡ x = 4 + a*(y^2 - 2*((2*a - 1)/(2*a))*y) ≡
≡ x = a*y^2 - (2*a - 1)*y + 4
A6) Infine l'apertura si ricava imponendo che le due curve abbiano eguale pendenza m = 1/3 e quindi eguale contropendenza 1/m = 3 nel punto P(6, 2) di tangenza.
Si ha
* dx/dy = 1/m(y) = 2*a*y - 2*a + 1
* 1/m(2) = 2*a*2 - 2*a + 1 = 3 ≡ a = 1
da cui
* γ1 ≡ x = y^2 - y + 4 ≡ x = (y - 1/2)^2 + 15/4
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B) Il testo, per com'è formulato, pone un problema indeterminato per carenza di vincoli; DI FASCI DI PARABOLE tangenti r in P CE N'E' UN'INFINITA': un fascio per ogni direzione dell'asse di simmetria.
Il risultato atteso per la parabola γ2 completa la specificazione mostrando implicitamente che s'intendeva "fascio di parabole AD ASSE ORIZZONTALE tangenti r in P".
Il fascio si ottiene applicando le condizioni in A5 e A6 alla forma A3.
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* Γ(a, h, w) ≡ x = w + a*(y - h)^2
Il punto P(6, 2) appartiene alle Γ(a, h, w), il che impone il vincolo
* 6 = w + a*(2 - h)^2 ≡ w = 6 - a*(2 - h)^2
da cui
* Γ(a, h) ≡ x = 6 - a*(2 - h)^2 + a*(y - h)^2 ≡
≡ x = 6 + a*((y - h) + (2 - h))((y - h) - (2 - h)) ≡
≡ x = 6 + a*(y - 2*h + 2)*(y - 2)
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Imponendo che le due curve abbiano eguale contropendenza 1/m = 3 in P(6, 2) si ha
* dx/dy = 1/m(y) = 2*a*(y - h)
* 1/m(2) = 2*a*(2 - h) = 3 ≡ h = (4*a - 3)/(2*a)
da cui
* Γ(a) ≡ x = 6 + a*(y - 2*(4*a - 3)/(2*a) + 2)*(y - 2) ≡
≡ x = a*(y^2 + (3/a - 4)*y + 4) ≡
≡ x = a*((y + (3/a - 4)/2)^2 + 3*(8*a - 3)/(4*a^2))
con
* vertice V(3*(8*a - 3)/(4*a^2), - (3/a - 4)/2)
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La condizione "vertice di ordinata - 1" impone il vincolo
* - (3/a - 4)/2 = - 1 ≡ a = 1/2
da cui
* γ2 ≡ Γ(1/2) ≡ x = (1/2)*((y + (3/(1/2) - 4)/2)^2 + 3*(8*(1/2) - 3)/(4*(1/2)^2)) ≡
≡ x = (1/2)*(y + 1)^2 + 3/2 ≡
≡ x = (1/2)*(y^2 + 2*y + 4)
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C) La retta
* PQ ≡ x = 6
interseca
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C1) la parabola γ1 negli zeri di
* 6 = (y - 1/2)^2 + 15/4 ≡
≡ (y - 1/2)^2 + 15/4 - 6 = 0 ≡
≡ (y + 1)*(y - 2) = 0 ≡
≡ (y = - 1) oppure (y = 2)
da cui
* Q(6, - 1) oppure P(6, 2)
quindi l'asse minore è
* 2*b = |PQ| = 3
e il centro è C(6, 3/2)
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C2) la parabola γ2 negli zeri di
* 6 = (1/2)*(y^2 + 2*y + 4) ≡
≡ (1/2)*(y^2 + 2*y + 4) - 6 = 0 ≡
≡ (y + 4)*(y - 2) = 0 ≡
≡ (y = - 4) oppure (y = 2)
da cui
* R(6, - 4) oppure P(6, 2)
quindi l'asse maggiore è
* 2*a = |PR| = 6
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L'ellisse con assi di simmetria paralleli a quelli coordinati, centro C(α, β) e semiassi (a, b) ha equazione
* Γ ≡ ((x - α)/a)^2 + ((y - β)/b)^2 = 1
che, con i valori di questo caso, diventa
* Γ ≡ ((x - 6)/3)^2 + ((y - 3/2)/(3/2))^2 = 1 ≡
≡ (x - 6)^2 + (2*y - 3)^2 = 9
CHI LO SA DA DOVE VIENE LA DISCREPANZA
