Disegna un quadrato $A B C D$. A partire dai vertici opposti $A$ e $C$, traccia i segmenti $A E$ (su $A B$ ), $A H$ (su $A D$ ), $C F$ (su $B C$ ) e $C G$ (su $C D$ ), fra loro congruenti.
a. Dimostra che $E F G H$ è un rettangolo.
b. Dai vertici $A$ e $C$ scegli su ogni lato del quadrato altri quattro segmenti $A E^{\prime}, A H^{\prime}, C F^{\prime}$ e $C G^{\prime}$, fra loro congruenti. Dimostra che $H E+E F \cong H^{\prime} E^{\prime}+E^{\prime} F^{\prime}$.Mi sono bloccato a metà
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Livello 2
Per essere un rettangolo, ci basta dimostrare che gli angoli di EHGF sono retti.
Dato che AH=AE e l'angolo A è retto, il triangolo AHE è rettangolo isoscele, dunque gli angoli AEH=AHE=45.
Analogamente si mostra che anche EBF, GCF e DGH sono rettangoli isosceli.
L'angolo HEF è dunque retto perché:
$ HEF = 180 - HEA - FEB = 180 - 45 - 45 = 90$
Analogamente si procede con gli altri angoli di EHGF.
E' ovvio che con analogo ragionamento anche E'H'G'F' è un rettangolo.
Sfruttando le proprietà dei triangoli rettangoli isosceli che si vengono a formare, abbiamo che:
$ EH = AE \sqrt{2}$
$ EF = EB \sqrt{2}$
e dunque:
$ EH + EF = AE \sqrt{2} + EB \sqrt{2} = (AE+EB) \sqrt{2} = AB \sqrt{2}$
Analogamente abbiamo che:
$E'H' = AE' \sqrt{2}$
$E'F' = E'B \sqrt{2}$
e quindi:
$ E'H' + E'F' = AE' \sqrt{2} + E'B \sqrt{2} = (AE'+E'B) \sqrt{2} = AB \sqrt{2}$
Dunque per la proprietà transitiva:
$ EH + EF = E'H'+E'F' = AB \sqrt{2}$
Noemi
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Livello 6
@n_f Noemi, mille grazie. Buona domenica.
Aiuto mia sorella, con queste dimostrazioni 😁
