quadrato di lato a

DΡ = √(a^2 + (a + x)^2)

DΡ = √(x^2 + 2·a·x + 2·a^2)

CΡ = √(a^2 + x^2)

CD = a

Quindi dobbiamo risolvere:

√(x^2 + 2·a·x + 2·a^2) + √(a^2 + x^2) + a = 4·a

con a > 0

Per semplicità poniamo a=1 e moltiplicheremo la soluzione eventuale per a

√(x^2 + 2·x + 2) + √(x^2 + 1) = 3

√(x^2 + 2·x + 2) = 3 - √(x^2 + 1)

elevo al quadrato:

x^2 + 2·x + 2 = (√(x^2 + 1) - 3)^2

x^2 + 2·x + 2 = - 6·√(x^2 + 1) + x^2 + 10

6·√(x^2 + 1) = x^2 + 10 - (x^2 + 2·x + 2)

6·√(x^2 + 1) = 8 - 2·x

√(x^2 + 1) = (4 - x)/3

elevo al quadrato

x^2 + 1 = (x - 4)^2/9

9·(x^2 + 1) - (x^2 - 8·x + 16) = 0

8·x^2 + 8·x - 7 = 0

risolvo: 

x = - 3·√2/4 - 1/2 ∨ x = 3·√2/4 - 1/2

scarto la negativa (soluzione valida per a=1, per a qualsiasi >0 si deve moltiplicarla per a)

CD + PC + DP = 4a;

a + radice(a^2 + x^2) + radice[a^2 + (a + x)^2] = 4a;

radice(a^2 + x^2) + radice[a^2 + (a + x)^2] = 4a - a;

radice(a^2 + x^2) + radice[a^2 + a^2 + x^2 + 2ax] = 3a;

radice [2a^2 + x^2 + 2ax] = 3a - radice(a^2 + x^2);

2a^2 + x^2 + 2ax = [ 3a - radice(a^2 + x^2)]^2;

2a^2 + x^2 + 2ax = 9a^2 + (a^2 + x^2) - [6a * radice(a^2 + x^2)];

2a^2 + x^2 + 2ax - 9a^2 - a^2 - x^2 = - [6a * radice(a^2 + x^2)];

- 8a^2 + 2ax = - [6a * radice(a^2 + x^2)];

(- 8a^2 + 2ax) /(- 6a ) = radice(a^2 + x^2);  eleviamo al quadrato, eliminiamo la radice;

[+ (4/3) a - (1/3) x]^2 = a^2 + x^2 ;

16/9 a^2 + 1/9 x^2 - 8/9 a x  = a^2 + x^2 ;

16 a^2 + x^2 - 8 a x = 9 a^2 + 9 x^2;

9 x^2 - x^2 + 8 a x + 9 a^2 - 16 a^2 = 0;

8 x^2 + 8 a x - 7 a^2 = 0;

x = [- 4 a +- radice quadrata(16 a^2 + 56 a^2)] / 8;

x = [ - 4a +- radice(72 a^2)] / 8;

x = [- 4 a +- radice(9 * 4 * 2 a^2)] / 8;

x = [ - 4 a +- 6 a radice(2)] / 8;

x = [ - 4a + 6a radice(2)] / 8; soluzione positiva;  a > 0;  x > 0;

x = - (1/2) a + (3/4) * [radice(2)] a = - 0,5 a + (0,75 * 1,4142) a;

x = (- 0,5 + 1,06) a = 0,56 a; (circa).

Ciao  @galimberto

a me risulta AP = 4/3 a