Punti stazionari con parametro, in inglese

Problema:

Determine the real number $a$ having the property that $f(a)=a$ is a relative minimum of $f(x)=x^4-x^3-x^2+ax+1$.

(USA, Harvard-MIT Mathematics Tournament)

Soluzione:

Generalmente quando si parla di massimi e minimi conviene sempre individuare la derivata prima della funzione assegnata per comodità. 

$f'(x)=4x^3-3x^2-2x+a$

Un punto di minimo si ha quando $f'(x)=0$ con monotonia decrescente prima del punto di minimo e monotonia crescente dopo il punto di minimo. È noto dal testo che il punto di minimo è $x=a$.

Si ha quindi $f'(a)=4a^3-3a^2-2a+a=0$, vale inoltre che $f'(x)<0$ in $(-\infty, a)$ e $f'(x)>0$ in $(a, +\infty)$.

$4a^3-3a^2-2a+a=0$

$4a^3-3a^2-a=0$

$a(4a^2-3a-1)=0$

$a_1=0, a_2=-\frac{1}{4}, a_3=1$

Inoltre vale $f(a)=a$, dalla quale si ottiene 

$a^4-a^3-a^2+a^2+1=a$

$a^4-a^3-a+1=0$

Si testano i valori $a_1, a_2, a_3$ trovati in precedenza. 

$a=0 \implies 1=0$, quindi si esclude.

$a=-\frac{1}{4} \implies \frac{325}{256}=0$, quindi si esclude.

$a=1 \implies 1-1-1+1=0+0=0$. L'unica soluzione possibile è $a=1$.

In realtà bisognerebbe verificare anche il segno della derivata prima con $a=1$ per affermare ciò. Lascio questa parte di conti come esercizio per il lettore.