Punti stazionari con parametro.

$ y(x) = \frac{x^2+a}{\sqrt{x^2+4}}$

• Dominio = ℝ
• y(x) è pari, quindi troveremo coppie di punti estremanti a meno di quello che presente per x = 0. 

$ y'(x) = \frac{x(-a+x^2+8)}{\sqrt{(x^2+4)^3}} $

a.  Ammette un solo estremante.

Per essere estremante y'(x) = 0  

Le soluzioni sono:

1. x = 0 
2. -a+x²+8 = 0  ⇒ x² =  a - 8  con al più una soluzione. Necessariamente a ≤ 8 

nota per a = 8 si conferma l'unica soluzione x = 0

b.  ammette un massimo di ordinata y = 5

Risolviamo il sistema, punto della funzione che risulta estremante. Essendo unico sarà la soluzione per x = 0.

$ \left\{\begin{aligned} \frac{x^2+a}{\sqrt{x^2+4}} &= 5 \\ x(-a+x^2+8) &= 0 \end{aligned} \right. $

La soluzioni sono:

• a = 10 per x = 0 
• a = ± 41/4 per x = ± 3/2

L'unico massimo è per a = 10.

La verifica che si tratti di un massimo è un po' macchinosa ma nulla di trascendentale. occorre determinare il limite per x → ±∞ per poi proseguire.

c.  minimo per x = 2.

Per quanto detto in precedenza avremo una coppia di minimi per x = ±2.

Usiamo x = 2 e imponiamo che sia un estremante

$ y'(2) = 0 $

$ 2(-a+4+8) = 0 \; \implies \; a =12$

d.   Due minimi di ordinata 8. 

Impostiamo il sistema y(x) = 8 e y'(x) = 0

$ \left\{\begin{aligned} \frac{x^2+a}{\sqrt{x^2+4}} &= 8 \\ x(-a+x^2+8) &= 0 \end{aligned} \right. $ 

La soluzioni sono:

• a = 16 per x = 0             (unica) 
• a = 20 per x = ± 2√3     (copia cercata) 

La verifica che trattasi di minimi ricalca quella fatta in precedenza.

Nota. Tali verifiche non sono richieste ma, a mio parere sono opportune.