Punti stazionari

Punti di stazionarietà per la funzione:

y = COS(2·x)/(COS(x) + SIN(x)) - 2·COS(x) - x

osservando che:

COS(2·x)/(COS(x) + SIN(x)) =

=(COS(x)^2 - SIN(x)^2)/(COS(x) + SIN(x)) =

=COS(x) - SIN(x)

la funzione può scriversi:

y = - COS(x) - SIN(x) - x  (con COS(x) + SIN(x) ≠ 0)

per cui:

y'=- COS(x) + SIN(x) - 1

y' =0:  SIN(x) - COS(x) = 1

posto:

SIN(x) - COS(x) = Α·SIN(x + φ) =

=Α·(SIN(x)·COS(φ) + SIN(φ)·COS(x))

si ha che:

{Α·COS(φ) = 1

{Α·SIN(φ) = -1

TAN(φ) = -1-----> φ = - pi/4

{Α·COS(- pi/4) = 1----> Α = √2

{Α·SIN(- pi/4) = -1----> Α = √2

Quindi:

√2·SIN(x - pi/4) = 1

posto: α = x - pi/4

SIN(α) = 1/√2 = √2/2

α = 3·pi/4 ∨ α = pi/4

x - pi/4 = 3·pi/4 ∨ x - pi/4 = pi/4

x = pi  ∨ x = pi/2

In generale si hanno punti stazionari in:

x = pi + 2·k·pi ∨ x = pi/2 + 2·k·pi

la derivata seconda:

y''= COS(x) + SIN(x)

indicherà se tali punti sono di max o di min rel

per i primi si ottiene:

y''=-1<0 quindi di max rel

per i secondi si ottiene:

y''=1>0 quindi di min rel