Punti stazioanri

Problema:

Individuare massimi e minimi della funzione

$y=(9x^2+5)e^{-x}$

Soluzione:

Si nota subito che il dominio è tutto $\mathbb{R}$ dato che $e^{-x} \neq 0 \ \ \forall x \in \mathbb{R}$.

Come al solito le informazioni concernenti massimi, minimi e andamento sono scortate dalla derivata prima, quindi è necessario calcolarla.

$y'=-e^{-x}(-18x+9x^2+5)$

$y'≥0 \iff x \in [ \frac{1}{3} , \frac{5}{3} ]$. In questi intervalli la funzione è crescente, per continuità essa è decrescente nel complementare. 

Si può dedurre che $x=\frac{1}{3}$ è un punto minimale mentre $x=\frac{5}{3}$ massimale. Ciò però porta in errore dato che si sta considerando tutto $\mathbb{R}$. Per tornare sulla retta via bisogna studiare cosa accade agli estremi di $\mathbb{R}$ in questo caso.

$\lim_{x \to -\infty} y= +\infty$

$\lim_{x \to +\infty} y =-\infty$

Ciò significa che $\sup_\mathbb{R} (y)=+\infty$ e che $\inf_\mathbb{R} (y)=-\infty$. Poiché gli estremi non sono finiti massimo e minimo non esistono per definizione intrinseca.