Proiettile

La traiettoria nel piano $xy$ è descritta dalle equazioni:

$x(t) = v_{0} \ cos( \theta )t, \ \ \ \ y(t) = v_{0} \ sen( \theta )t -\dfrac{1}{2}gt^{2}$

con

$\theta = \dfrac{2}{9}\pi \ $  .

Dalla seconda equazione ricaviamo il tempo totale di volo:

$t_{c} = \dfrac{2 \ v_{0} \ sen( \theta )}{g}$

a cui corrisponde la distanza:

$x(t_{c}) = v_{0} \ cos( \theta )t_{c} \ $ .

Il modulo della velocità finale è

$v(t_{c}) = \sqrt{(v_{0} \ cos( \theta ))^{2} +(v_{0} \ sen( \theta ) - gt_{c})^{2}} \ $.

Un punto materiale lanciato dalla posizione Y(0, h) con velocità di modulo V e alzo θ (con V > 0 e θ in [- π/2, π/2]) ha la posizione istantanea P(x, y) data da
* x(t) = V*cos(θ)*t
* y(t) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t
e la velocità istantanea v(t) = (V*cos(θ), vy(t)) data da
* vy(t) = V*sin(θ) - g*t
NOTE
1) Senza il valore locale per l'accelerazione di gravità si deve usare lo standard SI
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
2) La traiettoria percorsa si ricava eliminando il parametro tempo dalle equazioni delle coordinate.
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Con i dati
* h = 0
* V = 32 m/s
* θ = 40° = 2*π/9
si ha
* x(t) = 32*cos(40°)*t ~= (6398/261)*t
* y(t) = 0 + (32*sin(40°) - (g/2)*t)*t ~= (1337/65 - (g/2)*t)*t
* vx(t) = 32*cos(40°) ~= 6398/261
* vy(t) = 32*sin(40°) - g*t ~= 1337/65 - g*t
* |v(t)| = |(32*cos(40°), 32*sin(40°) - g*t)| =
= √((g*t - 64*sin(40°))*g*t + 1024) ~=
~= √((g*t - 2674/65)*g*t + 1024)
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All'istante T > 0 in cui y(T) = 0
* ((1337/65 - (g/2)*T)*T = 0) & (T > 0) ≡ T = 2674/(65*g)
avviene l'impatto al suolo; quindi i valori richiesti sono
* tempo di volo = T = 2674/(65*g)
* gittata = x(T) = (6398/261)*2674/(65*g) = 17108252/(16965*g)
* velocità all'impatto = |v(T)| =
= √((g*2674/(65*g) - 2674/65)*g*2674/(65*g) + 1024) =
= √1024 = 32 m/s
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Per g = 9.80665 m/s^2 si ha
* tempo di volo = T = 2674/(65*9.80665) ~= 4.1949556 ~= 4.195 ~= 4.2 s
* gittata = x(T) = 17108252/(16965*9.80665) ~= 102.833 ~= 103 m