C'é un gruppo di sei ragazze e sei ragazzi. Per tre volte verrà chiamata una coppia a caso
( senza ripetizioni ) per giocare una partita a scacchi.
Qual é la probabilità che Nausicaa non debba confrontarsi con un ragazzo ?
Qui non voglio sapere il risultato. A quello saprei arrivarci anche se ci vuole una settimana.
Desidero solo la conferma che sia veramente complicato come é venuto a me.
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Livello 6
Caso mai qualcuno volesse cimentarsi, abbandonando per un giorno tutte le proprie attività,
il risultato che esce a me - dopo sei pagine di calcoli - é 993/1386.
Ciao. Buona giornata. Una curiosità: il problema te lo sei inventato tu oppure l'hai preso da un testo universitario? Il valore probabilistico che hai ottenuto è giusto?
No, l'ho creato io ed ho solo un tenue indizio, legato alla correzione di un errore, del fatto che la risposta che ho trovato potrebbe essere corretta. Ma avrei gravi difficoltà a scrivere un algoritmo che permetta parametri dinamici, proprio per come é strutturata la strategia di soluzione.
Ciao @eidosm
Ci provo anch'io. Vediamo di restringere la simbologia:
F= femmina (5); M = maschio (6); N=Nausicaa (1)
Quindi sono possibili le seguenti coppie (non ordinate!):
{F,F}; {F,M}: {F,N}; {M,M}; {M,N}
Per risolvere il problema ci serviamo di:
Calcolo del numero dei casi ugualmente possibili n ( In F è inclusa Nausicaa! Quindi 6 femmine)
{M,M}- {M,M}-{M,M} -------> 6·5·4·3·2·1= 6! = 720 (tutti maschi)
{M,M}-{M,M}- {M,F}--------> 6·5·4·3·2·6=6!·6 = 4320 (5 maschi+1 femmina)
{M,M}-{M,M}-{F,F}----------> 6·5·4·3·6·5 = 10800 (4 maschi +2 femmine)
{M,M}-{M,F}-{M,F}----------> 6·5·4·6·3·5 = 10800 (4 maschi+2 femmine)
{M,M}-{M,F}-{F,F}----------> 6·5·4·6·5·4 = 14400 (3 maschi+3 femmine)
{M,F}-{M,F}-{M,F}----------> 6·6·5·5·4·4 = 14400 (3 maschi+3femmine)
{M,M}-{F,F}-{F,F}------------> 6·5·6·5·4·3 = 10800 (4 femmine+2 maschi)
{M,F}-{M,F}-{F,F}----------->6·6·5·5·4·3 = 10800 (4 femmine+2 maschi)
{M,F}-{F,F}-{F,F}----------->6·6·5·4·3·2 = 6·6!= 4320 (5 femmine+1maschio)
{F,F}-{F,F}-{F,F}------------>6·5·4·3·2·1= 6! = 720 (tutte femmine)
n=2·720 + 2·4320 + 4·10800 + 2·14400 = 82080
Calcolo dei numeri di casi favorevoli all’evento v
( in questo caso si deve mettere in conto 5 F ed 1 N)
Se si chiede che nelle 3 chiamate di coppie Nausicaa non debba confrontarsi con nessun ragazzo i casi sono 2 soli:
{M,M}-{M,M}-{M,M}--------->6·5·4·3·2·1= 6! = 720 (tutti maschi)
{M,M}-{M,M}-{M,F)-----------> 6·5·4·3·2·5 = 5·6! = 3600 (5 maschi+1 femmina)
{M,M}-{M,M}-{F,F}----------->6·5·4·3·5·4 = 7200 (4 maschi+2 femmine)
{M,M}-{M,F}-{M,F}----------->6·5·4·5·3·4 = 7200 (4 maschi + 2 femmine)
{M,M}-{M,F}-{F,F}------------>6·5·4·5·4·3 = 7200 (3 maschi+3 femmine}
{M,F}-{M,F}-{M,F}------------>6·5·5·4·4·3 = 7200 (3 maschi+3 femmine)
{M,M}-{F,F}-{F,F}------------>6·5·5·4·3·2 = 3600 (2 maschi+4 femmine)
{M,F}-{M,F}-{F,F}------------>6·5·5·4·3·2 = 3600 (2 maschi+4 femmine)
{M,F}-{F,F}-{F,F}------------->6*5*4*3*2*1=6!=720 (1 maschio+5 femmine)
Va=2·720 + 3·3600 + 4·720 = 15120
{F,N}-{M,M}-{M,M}------------>5·1·6·5·4·3 = 1800 (2 femmine+4 maschi)
{F,N}-{M,M}-{M,F}------------->5·1·6·5·4·4 = 2400 (3 femmine+3 maschi)
{F,N}-{M,M}-{F,F}-------------->5·1·6·5·4·3 = 1800 (4 femmine+2 maschi)
{F,N}-{M,F}-{M,F}-------------->5·1·6·4·5·3 = 1800 (4 femmine+2 maschi)
{F,N}-{M,F}-{F,F}--------------->5·1·6·4·3·2 = 720 (5 femmine+1 maschio)
{F,N}-{F,F}-{F,F}---------------->5*1*4*3*2*1=5! = 120 (6 femmine)
Vb= 3·1800 + 2400 + 720 + 120 = 8640
v=Va+Vb=15120 + 8640 = 23760
La probabilità richiesta mi viene: p=23760/82080 = 11/38 =28.95%
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Genius II
@lucianop non mi é molto chiaro se (mm, mf, mm) viene considerata equivalente a (mf, mm, mm). Le estrazioni delle coppie, comunque, sono in successione, per cui la probabilità di estrarre una coppia con una data composizione varia al variare del posto in cui la si considera. E' questo che complica le cose.
{M,M}-{M,M}-{M,F) deve essere equivalente a :
{M,M}-{M,F}-{M,M)----->(6·5)·(4·5)·(3·2) = 3600
{M,F}-{M,M}-{M,M)------>(6*5)*(5*4)*(3*2)=3600
Cambiando l'ordine il prodotto non cambia. Secondo me sono sempre usciti 4 maschi ed 1 femmina.
@lucianop Ho controllato - e mi sembra che anche quello che hai svolto sia un ragionamento plausibile, al momento non sono in grado di dire se abbiamo risolto due problemi differenti e perché. Ci devo riflettere ancora.
Visto che una è Nausicaa, le sei femmine siano "FGHIJN".
Per i maschi non ci sono nomi dati, e siano "mopqrs".
Le 66 coppie senza ripetizioni si ottengono accoppiando ciascuno di "FGHIJNmopqrs" con ciascuno dei successivi
* {FG, FH, FI, FJ, FN, Fm, Fo, Fp, Fq, Fr, Fs, GH, GI, GJ, GN, Gm, Go, Gp, Gq, Gr, Gs, HI, HJ, HN, Hm, Ho, Hp, Hq, Hr, Hs, IJ, IN, Im, Io, Ip, Iq, Ir, Is, JN, Jm, Jo, Jp, Jq, Jr, Js, Nm, No, Np, Nq, Nr, Ns, mo, mp, mq, mr, ms, op, oq, or, os, pq, pr, ps, qr, qs, rs}
Nausicaa compare cinque volte come seconda estratta di una ragazza e sei volte come prima estratta di un ragazzo.
Quindi è estraibile 11 volte su 66 possibili estrazioni, cinque favorevoli e sei contrarie.
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"la probabilità che Nausicaa non debba confrontarsi con un ragazzo" in nessuna delle tre volte dovrebb'essere il cubo di quella di una sola volta
* ((66 - 6)/66)^3 = 1000/1331
Ahinoi (meglio, ahimè: nulla mi autorizza a dire ahitè.) chissà dove ho toppato?
Confido che venga a dirmelo (e servirà anche a te) uno o più fra @mg, @Sebastiano, @nik, @Remanzini_Rinaldo che ogni tanto m'hanno già segnalato qualcosa che ho scritto a mia insaputa (da svista a castroneria, su tutta la gamma.).
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Genius I
@exprof il problema é che, non essendo consentite ripetizioni, gli eventi multipli che si susseguono nei tre turni sono concatenati. Non é quindi consentito passare ai cubi.
Per di più ho riscontrato che ad ogni turno scaturiscono nuovi fenomeni qualitativamente differenti.
Chiaramente, a livello numerico, il valore che hai trovato non é molto distante dal mio.
@EidosM
Ho inteso cazzi per lampioni? Può darsi, ma aiutami a verificarlo.
Io leggo che "Per tre volte verrà chiamata una coppia a caso ( senza ripetizioni ) per giocare una partita a scacchi." e capisco che si estraggono due avversari fra i dodici senza ovviamente estrarre un/a tale che affronti se stessa/o; perciò ho scritto i 66 bigliettini ("coppia a caso senza ripetizioni") da rimescolare nel cappello.
Se poi mi dici che "Non é quindi consentito passare ai cubi." io capisco che "coppia a caso ( senza ripetizioni )" significa una cosa diversa da "coppia a caso senza ripetizioni" cioè che le parentesi hanno, oltre al proprio valore sintattico, anche un ermetico valore semantico che io però, non essendo né Ungaretti né Quasimodo né un loro amico (com'è evidentemente l'Autore della traccia) a prima lettura non afferrai.
In base al "Non é quindi consentito ..." posso provare una seconda lettura: che le tre partite siano in contemporanea, cioè che il biglietto una volta estratto sia allegato al verbale dell'incontro e non partecipi alle successive estrazioni.
Se è così c'è da calcolare un piccolo albero a tre livelli.
Però, se l'ermetico valore semantico fosse ancora peggio di questa seconda lettura, non mi metto a sviluppare l'idea a rischio di scontentarti per la seconda volta.
Resto in attesa o di conferma o, in caso di smentita, di chiarimenti DETTAGLIATI.
@exprof Quello su cui mi trovo é che Nausicaa ha 10 probabilità su 11 di "passare indenne" il primo turno, infatti sono possibili solo tre esiti : va con una femmina, va con un maschio, non viene estratta. Hai fatto un'enumerazione diretta e non la controllo, é difficile che tu abbia sbagliato. Ma quando si arriva al secondo turno bisogna "splittare" la casistica "non viene estratta" in tre sottocasi (MM. MF, FF ) perché questo andrà a condizionare la composizione che va messa al posto di m = 6, f = 6 al secondo turno.
@EidosM
PERFETTO! Avevo effettivamente inteso cazzi per lampioni in prima lettura, ma la seconda è quella corretta. Inizio subito a darmi da fare però, se non dovessi concludere prima della terapia delle 19h 20', poi potrò riprendere il PC solo in prima nottata.
Se non vedi una nuova risposta entro pochi minuti non pensare male di me, la pubblicherò sul tardi e domattina la vedrai senza fallo (ma anche senza lampioni, spero!).
SECONDA RISPOSTA
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Partiziono in tre l'insieme dei 66 biglietti
* Senza Nausicaa: A = {FG, FH, FI, FJ, Fm, Fo, Fp, Fq, Fr, Fs, GH, GI, GJ, Gm, Go, Gp, Gq, Gr, Gs, HI, HJ, Hm, Ho, Hp, Hq, Hr, Hs, IJ, Im, Io, Ip, Iq, Ir, Is, Jm, Jo, Jp, Jq, Jr, Js, mo, mp, mq, mr, ms, op, oq, or, os, pq, pr, ps, qr, qs, rs}
* Nausicaa e Femmina: B = {FN, GN, HN, IN, JN}
* Nausicaa e Maschio: X = {Nm, No, Np, Nq, Nr, Ns}
con
* |A| = 55; |B| = 5; |X| = 6.
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Costruisco una tabella a quattro colonne. Nella prima a sinistra lo stato iniziale e nelle tre successive, ordinatamente gli stati ottenuti dopo un'estrazione di A, B, X. Gli stati ottenuti nell'ultima colonna "non figliano" perché non c'è interesse a vedere come evolvono, non contribuiscono all'evento cercato. Per facilitare la dattilografia mia e la lettura tua l'ultima colonna c'è, ma non la scrivo.
Ogni stato è rappresentato da una quintupla ordinata nel formato
* (nome, probabilità, |A|, |B|, |X|)
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La prima estrazione, dalla radice al livello uno, dà nomi a una cifra
(0, 1, 55, 5, 6) → (1, 55/66, 54, 5, 6), (2, 5/66, 55, 4, 6)
La seconda estrazione, dal livello uno al due, dà nomi a due cifre
(1, 5/6, 54, 5, 6) → (11, (5/6)*54/65, 53, 5, 6), (12, (5/6)*5/65, 54, 4, 6)
(2, 5/66, 55, 4, 6) → (21, (5/66)*55/65, 54, 4, 6), (22, (5/66)*4/65, 55, 3, 6)
La terza estrazione, dal livello due al tre, dà i nomi a tre cifre delle foglie
(11, 9/13, 53, 5, 6) → (111, (9/13)*53/64, 52, 5, 6), (112, (9/13)*5/64, 53, 4, 6)
(12, 5/78, 54, 4, 6) → (121, (5/78)*54/64, 53, 4, 6), (122, (5/78)*4/64, 54, 3, 6)
(21, 5/78, 54, 4, 6) → (211, (5/78)*54/64, 53, 4, 6), (212, (5/78)*4/64, 54, 3, 6)
(22, 2/429, 55, 3, 6) → (221, (2/429)*55/64, 54, 3, 6), (222, (2/429)*3/64, 55, 2, 6)
La somma delle probabilità delle otto foglie favorevoli
(111, 477/832, 52, 5, 6)
(112, 45/832, 53, 4, 6)
(121, 45/832, 53, 4, 6)
(122, 5/1248, 54, 3, 6)
(211, 45/832, 53, 4, 6)
(212, 5/1248, 54, 3, 6)
(221, 5/1248, 54, 3, 6)
(222, 1/4576, 55, 2, 6)
è il risultato
* 1/4576 + 3*5/1248 + 3*45/832 + 477/832 = 1711/2288
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BENE, ANZI NO: MALE, MALISSIMO!
Fammi sapere se pubblicherai un problema ben posto sull'argomento.
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Genius I
@exprof Ti ringrazio molto. Ho fatto una revisione. Ho corretto degli errori. Del mio nuovo risultato, 279/385, sono abbastanza sicuro perché ho determinato in via indipendente anche la complementare, e viene 106/385. Quindi é il 72.4%. Non era semplice. Alla fine Nausicaa se la cava se esce uno fra (f, xf, xxm*); non se la cava se esce una fra (m, xm, xxm). La probabilità che Nausicaa passi al II turno é 5/6 e la probabilità che passi al III turno é 2/3.
Aggiornamento. Ho veramente terminato. Il risultato corretto é intuitivo, é 8/11, ma la mia domanda resta : se si può evitare una dimostrazione analitica così elefantesca --- appena l'avrò rimessa in ordine in tutte le sue parti la scriverò.
TERZA RISPOSTA (ancora più ipotetica delle altre due)
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Questa volta l'interpretazione di "senza ripetizioni" è ancora più spinta: non solo non ci sono biglietti di forma "xx" (prima risposta) e non si rimette nel cappello il biglietto "xy" estratto (seconda risposta), ma addirittura si tolgono dal cappello tutti i biglietti che abbiano un "x" o un "y" (cioè si escludono le due persone estratte).
La prima estrazione toglie dal cappello 21 biglietti (11 x + 11 y - 1 xy doppio).
Prima della seconda estrazione si devono rifare tutti i biglietti e ripartirli nei sottinsiemi (A, B, X) per tutt'e quattro le possibili composizioni di maiuscole e minuscole (xy, xY, Xy, XY) del primo estratto.
La seconda estrazione toglie dal cappello 17 biglietti (9 x + 9 y - 1 xy doppio).
... e così via.
Le probabilità delle foglie, i 64 possibili esiti della terza estrazione (dai 16 esiti della seconda), sono quelle che vanno sommate fra pro e contro alla luce degli estratti.
Sviluppare a mano tutto l'albero sarebbe una follia, però mi divertirei a farlo a programma (o almeno a provarci) su tue specifiche dettagliate formalmente, fammi sapere. Intanto ti ringrazio dello spunto che m'ha tenuto i pensieri occupati per un bel po'.
51806
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Genius I
