[Risolto] Problemino

apparentemente scemo, ma su cui non mi trovo.

"Un ragazzo fa volare un aquilone ad un'altezza H = 50 m. 

L'aquilone si allontana dal ragazzo orizzontalmente con velocità vo = 6 m/s.

Determina la velocità con cui la fune viene lasciata andare quando l'aquilone 

si trova a distanza L = 80 m dal ragazzo". 

[R. 7.5 m/s]. 

Io avevo calcolato la derivata temporale di  d(t) = rad( H^2 + (vo t)^2 ) 

con d(T) = L, ma evidentemente non ho capito la traccia.

Per completezza, il problema si trova nel capitolo "Velocità Collegate".

Grazie.

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dal triangolo rettangolo di ipotenusa d e cateti H e x(t) = vo*t

d(t) = sqrt(H² + (x(t))^2)

v(t) = dd(t)/dt =1/2 *2x*(dx/dt)/sqrt(H² + (x(t))^2) =x*(dx/dt)/sqrt(H² + (x(t))^2) = x*vo/sqrt(H² + (x)^2) = x*vo/d

{noto che, se ho fatto bene,  x/d <1 ... il che implica che v < vo per ogni t}

pertanto quando  d = L = 80 m      x = sqrt(80^2  -50^2)   

e la velocità con cui il filo è rilasciato v è:

v =  vo*x/sqrt(H² + x^2)  = vo*x/ L= 6(sqrt(80^2  -50^2))/(sqrt(50^2 +(80^2 - 50^2))) = 6(sqrt(80^2  -50^2))/(80) = 4.6837... =~ 4.7 m/s    ---> ???

se x/L < 1   è    v < vo    ---> non mi trovo coi 7.5 m/s del testo!!!

forse la traccia intende altro ... certo per d --> oo   x ---> d  e v ---> vo 

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forse ha fatto così (?!) ... pensando che vL  fosse ipotenusa con cateto vo ...

vL = vo /cos(arcsen(H/L)) = 6 /cos(arcsen(50/80)) = 7.686151382644182 m/s

... ma è errato 

quando L = 80m     ---> ipotenusa
x(L) = sqrt(80^2 - 50^2)

t* =sqrt(L^2 - H^2)/vo = sqrt(80^2 - 50^2)/6= 10.408329997330663 s

v1media = L / t*= 80 / t* = 7.686151382644183 =~ 7.7 m/s

 ... ma si considera anche, errando, la lunghezza H di filo  che esiste, nel nostro modello, anche per t=0

 tenuto conto di quanto sopra dovrebbe essere , visto che v1 , all'inizio, è piccola ...

v1media = (L-H) / t*= (80-50) / 10.408329997330663 =2.8823 ... m/s

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oppure posto d(x) =  sqrt(H² + x^2)

dd(x)/dx = 1/2*2x/d(x) = x/d(x)   < 1 per ogni x

v = dd(x)/dx * dx/dt = x/d(x) * vo  ---> come prima!

quando d = L ---> x = sqrt(L² - H²) = sqrt(80² - 50²)

quindi v = 6 * sqrt(80² - 50²)/ 80 = 4.6837... m/s 

La traccia non è chiarissima, salvo che in un punto: vuole la velocità d'allungamento dell'ipotenusa. La parte equivoca è il senso di "distanza" che, in italiano corrente, è la lunghezza dell'ipotenusa. Tuttavia, rassegnandosi a leggere testi equivoci, si potrebbe anche pensare come quella del cateto orizzontale variabile (ma, se dovessi scoprire che è così, manderei i fulmini all'indirizzo dell'autore).
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Sono del tutto d'accordo con la tua prima frase, interpreterò la seconda strada facendo, ma alla terza non intendo nemmeno pensarci (completezza di che? capitolo di chi? collegate a cosa? Boh!).
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INTERPRETAZIONE comune
Con origine sul mulinello del filo, la posizione dell'aquilone alla quota h costante con velocità V costante e posizione iniziale (0, h) è
* y(t) = h
* x(t) = V*t
e il suo raggio vettore (lunghezza dell'ipotenusa) è
* r(t) = √(h^2 + (V*t)^2)
con derivata
* r'(t) = (V^2/√(h^2 + (V*t)^2))*t
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Con
* h = 50 m
* V = 6 m/s
si ha
* r(t) = 2*√(9*t^2 + 625)
* r'(t) = 18*t/√(9*t^2 + 625)
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INTERPRETAZIONE corretta
* r(T) = 2*√(9*T^2 + 625) = 80 ≡ T = 5*√(13/3)
* r'(T) = (3/4)*√39 ~= 4.68 != 7.5 m/s
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INTERPRETAZIONE boh?!? (di chi non sa il significato di distanza)
* x(T) = 6*T = 80 ≡ T = 40/3
* r'(T) = 48/√89 ~= 5.09 != 7.5 m/s
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PROCEDURA ROVESCIATA
* r'(T) = 18*T/√(9*T^2 + 625) = 15/2 ≡
≡ √(9*T^2 + 625) = 18*T/(15/2) = (12/5)*T ≡
≡ 9*T^2 + 625 = (12*T/5)^2 ≡
≡ 81*T^2 + 15625 = 0 ≡
≡ nessun T reale ≡
≡ il risultato atteso era quello di un altro esercizio
SI TRATTA DELLA SOLITA BANALE INCURIA DELL'EDITORE.

La velocità è circa 4,6828.. m/sec 

e va diminuendo all'aumentare della distanza