Problemi sugli integrali.

Il volume della lampadina è dato dalla somma di tre volumi, partendo da sinistra:

cilindro; parte centrale ; semisfera

definizione equazione parte centrale

y = a + b·COS(pi/4·x)

passa per Β [-4, 1] e per C [0, 3]

Quindi risolviamo il sistema:

{1 = a + b·COS(pi/4·(-4))

{3 = a + b·COS(pi/4·0)

Quindi il sistema:

{a - b = 1

{a + b = 3

che ha soluzione: [a = 2 ∧ b = 1]

Da cui la funzione che rappresenta il tratto centrale:

y = COS(pi·x/4) + 2

La funzione che rappresenta la parte terminale è un quarto di circonferenza:

x^2 + y^2 = 3^2 risolta: y = - √(9 - x^2) ∨ y = √(9 - x^2)

Quindi la funzione definita a tratti da considerare è:

y=

{1   per -5 ≤ x < -4

{COS(pi·x/4) + 2    per -4 ≤ x < 0

{√(9 - x^2)    per 0 ≤ x ≤ 3

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V(cilindro) = pi·1^2·1 = pi cm^3

V (centrale)=

∫(pi·(COS(pi·x/4) + 2)^2 dx = 16·SIN(pi·x/4) + SIN(pi·x/2) + 9·pi·x/2

valutato da x=-4 ad x=0

16·SIN(pi·0/4) + SIN(pi·0/2) + 9·pi·0/2 = 0

16·SIN(pi·(-4)/4) + SIN(pi·(-4)/2) + 9·pi·(-4)/2 = - 18·pi

0 - (- 18·pi) = 18·pi cm^3

V (semisfera) = 4/6·pi·r^3 =( per r = 3 cm) = 4/6·pi·3^3 = 18·pi cm^3

Volume lampadina= pi + 18·pi + 18·pi = 37·pi cm^3 = 116 cm^3