Problemi risolvibili con gli integrali.

a.  Grafico

• Dominio = ℝ
• Comportamento alla frontiera
  • • $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} y(x) = +\infty $
    • $ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} y(x) = 0 $ ⇒ asintoto orizzontale sinistro di equazione y=0
• minimi/massimi
  • • derivata prima $y'(x) = (x-1)e^x$
    • Punto stazionario per x = 1
    • Segno derivata prima
      • • y'(x) < 0  per  x < 1  qui la funzione è decrescente
        • y'(x) = 0  per  x = 1
        • y'(x) > 0  per  x > 1  qui la funzione è crescente
          •  

dall'analisi del segno si deduce che si tratta di un minimo di coordinate m(1, y(1)) = m(1, -e)

• Concavità e flessi
  • • • derivata seconda $y^{(2)}(x) = xe^x$
      • Segno derivata seconda
        • • y"(x) < 0  per  x < 0  qui la funzione è concava
          • y"(x) = 0  per  x = 0
          • y"(x) > 0  per  x > 0  qui la funzione è convessa
            •  

dall'analisi del segno si ha un flesso in F di coordinate F(0, y(0)) = F(0, -2)

Grafico della funzione y(x)

Calcolo dell'area A

Il risultato dell'integrazione sarà un valore negativo, quindi l'area A sarà l'opposto.

$ A = - \int_0^2 (x-2)e^x \, dx  $

si risolve semplicemente per parti

$ A = - \left. (x- 3) e^x \right|_0^2 =$  

$ A = e^2 - 3 $ 

c.   Volume del solido di rotazione attorno all'asse x

Applichiamo la formula relativa, cioè

$ V = \pi \int_0^2 |f(x)|^2\, dx $

$ V = \pi \int_0^2 (x-2)^2 e^{2x}\, dx $

$ V = \pi \left. \frac{1}{4}e^{2x}(2x^2-10x+13) \right|_0^{2} $

$ V = \pi \frac{1}{4}(e^4-13) $