[Risolto] problemi mate e fisica

L'esercizio è carino e mi divertirò a scrivertene la risoluzione, ma non lo farò per merito della tua domanda che reputo, oltre che ovviamente stupida, anche sottilmente offensiva: chiedere "me lo riuscireste a risolvere?" a persone adulte e competenti equivale a dire a un bambino disordinato "scommetto un gelato a tua scelta che non sarai capace di riordinare la tua stanza entro mezz'ora!"; cioè tu ci tratti come bambini ingannabili e allettabili, E SENZA NEMMENO PROMETTERCI UN GELATO.
Sarà anche vero che ciascuno ha il suo prezzo, ma così ci offendi non chiedendoci neanche quale sia il nostro.
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La consegna "approssima i valori al centesimo di metro" (che in buon italiano ha un suo nome: si chiama centìmetro [non centimètro!]) si mette in evidenza a futura memoria; salvo indicazioni le misure e i calcoli sono in m e m^2.
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a) Equazione della circonferenza Γ
Il disegno mostra il segmento circolare maggiore tagliato, dalla corda AB con A(- a, 0) e B(a, 0), su un cerchio con
* centro C(0, 1.50) = (0, 3/2)
* raggio R = 5.20 = 26/5
delimitato dalla circonferenza
* Γ ≡ x^2 + (y - 3/2)^2 = (26/5)^2 ≡
≡ x^2 + y^2 - 3*y - 2479/100 = 0 (NB: 24.79 è esatto, non approssimato!)
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b) Larghezza w del piano stradale
Per ogni corda c di ogni circonferenza di raggio r vale la relazione pitagorica
* r^2 = d^2 + (c/2)^2
(dove d è la distanza dal centro, yC) che, con i valori del disegno, dà
* (26/5)^2 = (3/2)^2 + (c/2)^2 ≡ c = √2479/5
da cui, sottraendo i due metri marcati in figura, si ha la larghezza w del piano stradale
* w = c - 2 = (√2479 - 10)/5 ~= 7.9579 ~= 7.96 (NB: questo sì, che è approssimato!)
delimitato da P(- (√2479 - 10)/10, 0) e Q((√2479 - 10)/10, 0).
NOTE
(√2479 - 10)/10 = √24.79 - 1 ~= 3.98 ~= 4 è la semiampiezza stradale.
La differenza f = r - d = 26/5 - 3/2 = 37/10 è la freccia del segmento circolare minore.
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c) Limite hMax d'altezza
Le intersezioni U(- (√2479 - 10)/10, h) e V((√2479 - 10)/10, h) di Γ con le verticali per P e Q sono le soluzioni con hMax = y > 0 del sistema
* (x^2 + (y - 3/2)^2 = (26/5)^2) & (x^2 = ((√2479 - 10)/10)^2)
da cui
* hMax = (3 + √((25 + 4*√2479)/5))/2 ~= 4.8478 ~= 4.85
NOTA
Il risultato atteso (4.84) è una VIOLAZIONE della consegna "approssima al centimetro".

@penh

 

Circonferenza di centro C (0, 3/2) e raggio R= 5,20 =(26/5) m

 

x² + [y - (3/2)]² = (26/5)²

x² + y² - 3y - 24,79=0

 

Intersezioni della circonferenza con l'asse x (retta y=0)

x² - 24,79 = 0

x1 = radice (24,79) = 4,98 m

x2 = - radice (24,79) = - 4,98 m

 

Quindi la larghezza del piano stradale è:

L= (4,98*2) - 2 = 7,96 m

 

L'altezza massima possibile per i veicoli risulta:

H_max= 1,50 + radice (5,2² - 3,98²) = 4,84 m

a) Osserviamo che C = (0, 1.5)

per cui l'equazione é

x^2 + (y - 1.5)^2 = 5.2^2

x^2 + y^2 - 3y + 2.25 = 27.04

x^2 + y^2 - 3y - 24.79 = 0

b) posto y = 0

x^2 - 24.79 = 0

x = +- 4.98 m

la lunghezza della corda é 2*4.98 = 9.96 m

e la larghrzza si ottiene togliendo 1 + 1 m ai lati

9.96 - 2 = 7.96 m

c) per il teorema di Pitagora

h = 1.5 + rad(5.2^2 - 3.98^2) = 4.84 m circa