[Risolto] problemi geometrici risolvibili via algebrica

Con riferimento alla figura di sopra.

(√3/2·l)^2 + (l/2 - x)^2 + x^2 = 8/9·l^2

3·l^2/4 + (x^2 - l·x + l^2/4) + x^2 - 8/9·l^2 = 0

2·x^2 - l·x + l^2/9 = 0

18·x^2 - 9·l·x + l^2 = 0

Risolvo ed ottengo:

x = l/6 ∨ x = l/3

"l" può confondersi con "I" e con "|": meglio usare "L".
In italiano i nomi propri esigono la maiuscola: "euclide e pitagora" sono due errori.
In italiano "utilizzare" significa "usare in modo utile"; ma, dovendo imboccare la "via algebrica", è utile solo il teorema di Pitagora per calcolare le distanze, mentre quelli di Euclide sono superflui e quindi non utili: sarebbe stato meglio scrivere "usando solo i teoremi di Euclide e Pitagora".
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Nel triangolo equilatero ABC di lato L si chiede di determinare un punto P, sul lato BC a distanza k da B (0 < k < L), tale da verificare la relazione
* |РA|^2 + |PB|^2 = (8/9)*L^2
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VIA ALGEBRICA
Istituisco un riferimento Bxy nel quale posiziono i punti
* B(0, 0), P(k, 0), C(L, 0), A(L/2, (√3/2)*L)
e calcolo i quadrati delle distanze (presenti a primo membro della relazione richiesta) dalle relazioni pitagoriche fra le differenze delle coordinate omologhe
* |РA|^2 = |A - P|^2 = |(L/2, (√3/2)*L) - (k, 0)|^2 = |(L/2 - k, (√3/2)*L)|^2 =
= (L/2 - k)^2 + ((√3/2)*L)^2 = k^2 - k*L + L^2
* |PB|^2 = |B - P|^2 = |(0, 0) - (k, 0)|^2 = |(- k, 0)|^2 = k^2
quindi sostituisco nella relazione e risolvo per k
* |РA|^2 + |PB|^2 = (8/9)*L^2 ≡
≡ |РA|^2 + |PB|^2 - (8/9)*L^2 = 0 ≡
≡ k^2 - k*L + L^2 + k^2 - (8/9)*L^2 = 0 ≡
≡ (3*k - L)*(6*k - L)/9 = 0 ≡
≡ (3*k - L = 0) oppure (6*k - L = 0) ≡
≡ (k = L/3) oppure (k = L/6)