Problemi geometrici risolvibili utilizzando il teorema di Pitagora e equazioni.

In un trapezio rettangolo ABCD di base maggiore B e base minore b, il lato obliquo lo è congruente alla base minore, la quale è 5/3 dell’altezza h. Se il perimetro 2p del trapezio è 44 cm, qual è l’area A del trapezio?

 si esprimono tutte le grandezze in modo proporzionale ad h, tenendo conto che il triangolo BCH è rettangolo e che lo, p ed h sono una terna pitagorica 3,4 e 5 

altezza h = 3

lato obliquo lo = b = 5

proiezione = p = 4 

base maggiore B = b+p = 5+4 = 9

perimetro 2p = 44 = k(3+3*5+4) = 22k

coefficiente di proporzionalità k = 44/22 = 2,0

altezza = k*h = 3*2 = 6 cm

base minore = k*b = 5*2 = 10 cm

lato obliquo  = k*lo = 5*2 = 10 cm

proiezione = k*p = 2*4 = 8 cm 

base maggiore B = b+p = 18 cm 

area A = (b+B)*h/2 = 28*6/2 = 84 cm^2

In un trapezio rettangolo, ABCD di base maggiore AB e base minore CD il lato obliquo è congruente alla base minore, la quale è 5/3 dell’altezza. Il perimetro del trapezio è 44 cm. Qual è l’area del trapezio? 

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La base minore e il lato obliquo, essendo congruenti, non possono essere minori dell'altezza, penso che nel testo è invertito il rapporto e dovrebbe essere 5/3 e non 3/5; vado avanti così:

altezza = lato retto $\small h=lr= x;$

base minore = lato obliquo $\small b=lo=\dfrac{5}{3}x;$

base maggiore:

$\small B= b+plo$ (per la proiezione del lato obliquo (plo) applica il teorema di Pitagora)

$\small B= \dfrac{5}{3}x+\sqrt{\left(\dfrac{5}{3}x\right)^2-x^2} $

$\small B= \dfrac{5}{3}x+\sqrt{\dfrac{25}{9}x^2-x^2} $

$\small B= \dfrac{5}{3}x+\sqrt{\dfrac{25-9}{9}x^2} $

$\small B= \dfrac{5}{3}x+\sqrt{\dfrac{16}{9}x^2} $

$\small B= \dfrac{5}{3}x+\dfrac{4}{3}x $

$\small B= \dfrac{\cancel9^3}{\cancel3_1}x = 3x$

equazione conoscendo il perimetro:

$\small B+b+lr+lo = 2p$

$\small 3x+\dfrac{5}{3}x+x+\dfrac{5}{3}x=44$ moltiplica tutto per 3 per eliminare i denominatori:

$\small 9x+5x+3x+5x = 132$

$\small 22x = 132$ dividi ambo le parti per 22 per isolare l'incognita:

$\small \dfrac{\cancel{22}x}{\cancel{22}} = \dfrac{132}{22}$

$\small x = 6$

per cui i lati risultano:

altezza = lato retto $\small h=lr= x = 6\,cm;$

base minore = lato obliquo $\small b=lo=\dfrac{5}{3}x = \dfrac{5}{\cancel3_1}×\cancel6^2 = 5×2= 10\,cm;$

base maggiore $\small B= 3x = 3×6 = 18\,cm;$

verifica del perimetro: $\small 2p= B+b+lr+lo = 18+10+6+10 = 44\,cm$

area del trapezio $\small A= \dfrac{(B+b)×h}{2} = \dfrac{(18+10)×\cancel6^3}{\cancel2_1} = 28×3 = 84\,cm^2.$