Problemi di trigonometria - superiori

Il secondo:

Se osservi la figura, puoi calcolare le coordinate dei punti E ed F da cui è facile risalire alla distanza fra questi due punti. (osserva che si hanno a disposizione due triangoli rettangoli uno a sinistra e l'altro a destra per cui tu sai che il rapporto fra i cateti mi dà la tangente dell'angolo dato)

Passiamo al secondo.

Angolo al vertice: α = 2·θ

TAN(2·θ) = √8-----> TAN(2·θ) = 2·TAN(θ)/(1 - TAN(θ)^2)

pongo: TAN(θ) = μ per cui risolvo: 2·μ/(1 - μ^2) = √8

2·μ = √8·(1 - μ^2)

2·μ - √8·(1 - μ^2) = 0

2·√2·μ^2 + 2·μ - 2·√2 = 0-----> √2·μ^2 + μ - √2 = 0

μ = √2/2 ∨ μ = - √2 (la radice negativa non la considero)

Quindi deve essere: b/2/h = √2/2----> b = √2·h

Il lato obliquo con Pitagora: l = √((b/2)^2 + h^2)

l = √((√2·h/2)^2 + h^2)-------> l = √6·h/2

Scrivo ora l'area del triangolo in 2 modi

Α = 1/2·r·(b + 2·l) ed anche Α = 1/2·b·h

Nel primo modo ottengo:

Α = 1/2·2·(√2·h + 2·(√6/2·h))----->Α = h·(√6 + √2)

Nel secondo modo ottengo:

Α = 1/2·(√2·h)·h-----> Α = √2·h^2/2

Quindi h: h·(√6 + √2) = √2·h^2/2----> h = 2·√3 + 2 ∨ h = 0

Per sostituzione:

Α = (2·√3 + 2)·(√6 + √2)---> Α = 4·√6 + 8·√2

ed in definitiva:

Α = 4·√2·(√3 + 2)