Problemi di ottimo

Question

Salve,

Considera la funzione y = a/[1 + b * (x ^ 2)] e determina a e b, con b ≠ 0, in modo che abbia un punto di flesso di coordinate (sqrt(3))/6, 3/2). Sia P un punto appartenente al grafico della funzione, r la retta tangente a esso in P, Q il punto d'intersezione di tale tangente con l'asse x e H la proiezione ortogonale di P sull'asse x. Determina P in modo che sia minima la lunghezza del segmento HQ.

soluzioni a=2, b= 4, P(+-1/2,1)

ho trovato i parametri 'a' e 'b' e ho studiato la funzione per fare il grafico, ma sto avendo problemi con la risoluzione del problema di ottimo.
Grazie per l'aiuto😁

Autore

Risposta

Tiz

(@tiz)

1785 punti

livello:

Livello 3

680 Risposte
81 47 380

06/01/2025 12:36

Gregorius · Accepted Answer

[attach]99991[/attach] [attach]99992[/attach] [attach]99993[/attach] [attach]99994[/attach]

EidosM · Answer

E' semplice. Tutte le derivate le hai già calcolate. Lo svolgo in forma sintetica e cartacea. [attach]99963[/attach]

LucianoP · Answer

[attach]128583[/attach] P [α, 2/(4·α^2 + 1)] y = 2/(1 + 4·x^2) =  la funzione y' = - 16·x/(4·x^2 + 1)^2  =  la sua derivata prima   Il coefficiente angolare della retta tangente in P vale: - 16·α/(4·α^2 + 1)^2 la retta tangente: y - 2/(4·α^2 + 1) = - 16·α/(4·α^2 + 1)^2·(x - α) y = - 2·(8·α·x - 12·α^2 - 1)/(4·α^2 + 1)^2 Metto a sistema la retta tangente in P con l'asse delle x: {y = - 2·(8·α·x - 12·α^2 - 1)/(4·α^2 + 1)^2 {y = 0 quindi risolvo: 8·α·x - 12·α^2 - 1 = 0---- >  x = (12·α^2 + 1)/(8·α) Q [(12·α^2 + 1)/(8·α), 0] H [α, 0] HQ = (12·α^2 + 1)/(8·α) - α = (4·α^2 + 1)/(8·α) =f C.N. f'=0----> (4·α^2 - 1)/(8·α^2) = 0 risolvo ed ottengo: α = - 1/2 ∨ α = 1/2 [- 1/2, 2/(4·(- 1/2)^2 + 1)]------>  [- 1/2, 1] quindi due punti P: [-/+ 1/2, 1]

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