Io, di natura, molto gentile non sono; perciò, nel tentativo di compensare i modi bruschi col rendermi utile in qualche maniera, non ti spiegherò ciò che hai chiesto (l'interpretazione di un punto della risoluzione trovata in rete, che già @Cenerentola t'ha chiarito) e invece cercherò di illustrarti come focalizzare l'attenzione sullo scopo degli esercizi senza farsi asservire dalle parole con cui li si presenta.
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Il testo dell'esercizio, scritto da un demente ebbro dopo aver fumato sostanze che il suo organismo non tollera, chiede di massimizzare il volume di un certo cilindro modificando L'ALTEZZA DEL RETTANGOLO che, di per sé, altezza non ne ha: è del tutto convenzionale chiamare "base e altezza" i lati dei rettangoli, ma non si può dire quale lato sia l'una o l'altra semplicemente guardando il rettangolo. Fosse stato compos sui avrebbe scritto una cosa del genere «Fra i rettangoli così e così individuare quello che, rotato intorno all'asse x, genera il cilindro di massimo volume.» e lasciato il risolutore libero di comportarsi a modo suo.
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Il testo dello svolgimento trovato in rete, scritto da una persona intelligente che se n'impippa delle consegne scritte stupidamente, tratta il problema non già in funzione della prescritta e fantomatica "altezza del rettangolo" bensì più concretamente in funzione di una coordinata di uno dei vertici; e quest'impostazione, con due coordinate per quattro vertici, potrebbe dare otto diversi approcci con otto diverse espressioni per le sette coordinate che non si usano come parametro (nel caso particolare ne dà solo tre).
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La tua richiesta «Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi perché l'ascissa del punto Q é -x/4 + 4, mentre secondo me dovrebb'essere √(-16x+64)?» mi sembra come chiedere perché sia scheggiata l'unghia del dito che indica la luna! La sola cosa che ti dovrebbe interessare è: il volume massimo "secondo te" è eguale o no a quello "dello svolgimento trovato in rete"?
Se è eguale allora ci sono buone probabilità che il tuo svolgimento sia corretto.
Se non lo è allora che t'importa di verificarne un solo risultato intermedio? Rifai i calcoli con uno degli altri due metodi, non ripetere quelli già fatti!
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Fine del predicozzo di Filosofia degli Esercizi Quotidiani. Ti abbozzo il problema.
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Le parabole
* Γ1 ≡ y^2 = 4*x ≡ x = y^2/4
* Γ2 ≡ x = 4 - y^2/16
hanno come asse di simmetria comune l'asse x, vertici V1(0, 0) e V2(4, 0), aperture discordi (a1 = 1/4, a2 = - 1/16), intersezioni
* (x = y^2/4) & (x = 4 - y^2/16) ≡ A(16/5, - 8/√5) oppure B(16/5, 8/√5)
Da qui in poi i nomi (A, B) non servono più e li riuso.
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Le tre possibili parametrizzazioni del problema riguardano i due vertici di ordinata positiva: o una delle loro ascisse o la comune ordinata si assumono come parametro (k) in funzione del quale esprimere le altre sette coordinate dei vertici e il volume da massimizzare entro l'intervallo in cui il parametro è significativo.
A) ordinata comune: 0 < k < 8/√5 ~= 3.6
B) ascissa sinistra: 0 < k < 16/5 = 3.2
C) ascissa destra: 16/5 < k < 4
Per evitare confusioni coi nomi PQRS, rinomino i vertici ABCD dal basso a sinistra in senso antiorario, tanto le intersezioni A e B non servono più.
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A) ordinata di C e D: 0 < k < 8/√5 ~= 3.6
Vertici
* (y = k) & (x = y^2/4) ≡ D(k^2/4, k) → A(k^2/4, - k)
* (y = k) & (x = 4 - y^2/16) ≡ C(4 - k^2/16, k) → B(4 - k^2/16, - k)
Cilindro
* area di base π*k^2
* altezza |C - D| = |(4 - k^2/16, k) - (k^2/4, k)| = |(4 - 5*k^2/16, 0)| = |5*k^2/16 - 4|
* volume V(k) = π*|5*k^2/16 - 4|*k^2 <= (64/5)*π = V(4*√(2/5))
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B) ascissa di A e D: 0 < k < 16/5 = 3.2
Vertici
* (x = k) & (x = y^2/4) ≡ A(k, - 2*√k) oppure D(k, 2*√k)
* (y = ± 2*√k) & (x = 4 - y^2/16) ≡ C(4 - k/4, 2*√k) → B(4 - k/4, - 2*√k)
Cilindro
* area di base π*(2*√k)^2
* altezza |C - D| = |(4 - k/4, 2*√k) - (k, 2*√k)| = |(4 - 5*k/4, 0)| = |5*k/4 - 4|
* volume V(k) = π*|5*k/4 - 4|*(2*√k)^2 <= (64/5)*π = V(8/5)
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C) ascissa di B e C: 16/5 < k < 4
Vertici
* (x = k) & (x = 4 - y^2/16) ≡ B(k, - 4*√(4 - k)) oppure C(k, 4*√(4 - k))
* (y = 4*√(4 - k)) & (x = y^2/4) ≡ D(4*(4 - k), 4*√(4 - k)) → A(4*(4 - k), - 4*√(4 - k))
Cilindro
* area di base π*(4*√(4 - k))^2 = 16*π*(4 - k)
* altezza |C - D| = |(k, 4*√(4 - k)) - (4*(4 - k), 4*√(4 - k))| = |(k + 4*√(4 - k), 0)| = |k + 4*√(4 - k)|
* volume V(k) = 16*π*|k + 4*√(4 - k)|*(4 - k) <= (512/25)*(2 + √5)*π = V(16/5)
BEH, PARE EVIDENTE CHE DEBBO AVER CANNATO QUALCHE CONTO: ci pensi tu?
