problemi di ottimizzazione

y = (3 - x)/(x + 1)

P [x, (3 - x)/(x + 1)]

con 0 < x < 3

Α = x·(3 - x)/(x + 1)

calcolo la derivata ed ottengo: A' = 0

- (x^2 + 2·x - 3)/(x + 1)^2 = 0

x^2 + 2·x - 3 = 0----> (x - 1)·(x + 3) = 0

x = -3 ∨ x = 1

P [1, (3 - 1)/(1 + 1)]

P [1,1]

fornisce il massimo dell'area.

Verifica:

A''= - 8/(x + 1)^3

per x = 1:

A''(-1)=- 8/(1 + 1)^3 = -1 <0

EX. 409 (non richiesto)

retta AB (equazione segmentaria)

x/4 + y/2 = 1----> y = (4 - x)/2

Coordinate di P:

P [x, (4 - x)/2]

Funzione da minimizzare:

Σ = x^2 + ((4 - x)/2)^2----> Σ = 5·x^2/4 - 2·x + 4

funzione parabolica in x : il minimo in corrispondenza del vertice:

x = - b/(2·a)

oppure:

Σ' = 5·x/2 - 2 = 0  ----> x = 4/5

Quindi:

[4/5, (4 - 4/5)/2]-----> [4/5, 8/5]

Σ''= 5/2 > 0 indipendentemente da x che conferma il minimo.

EX. 411 (non richiesto)

ΑΡ^2

A [-1, 0] ; P [x, - x^2 + 1]

AP^2=(x + 1)^2 + (- x^2 + 1)^2

ΒΡ^2

B [1, 0] ; P [x, - x^2 + 1]

BP^2=(x - 1)^2 + (- x^2 + 1)^2

Quindi:

(x + 1)^2 + (- x^2 + 1)^2 + ((x - 1)^2 + (- x^2 + 1)^2) =

=2·x^4 - 2·x^2 + 4

Quindi dobbiamo trovare il minimo della funzione:

Σ = 2·x^4 - 2·x^2 + 4

Σ' = 0

8·x^3 - 4·x =0-----> 4·x·(2·x^2 - 1) = 0

x = - √2/2 ∨ x = √2/2 ∨ x = 0

In grassetto i punti di minimo