Problemi di massimo e minimo

I due punti di intersezione con l'asse x si ottengono risolvendo 

y = -x (x + 2) = 0 per cui A = (-2,0) e B = (0,0)

e -2 <= x <= 0

Il punto P ha coordinate   x e   - x^2 - 2x     

La quantità che deve essere massima é |x| + |-x^2 - 2x| = -x - x^2 - 2x = - x^2 - 3x 

oppure - (x^2 + 2*3/2 x + 9/4 - 9/4) = 9/4 - (x + 3/2)^2 

il massimo si ottiene se x = - 3/2 e y = -9/4 + 3 = 3/4

"la somma delle distanze di P(x, y) dagli assi cartesiani" è: s(x, y) = |x| + |y|.
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La parabola
* Γ ≡ y = - x^2 - 2*x ≡ y = - (x + 2)*x ≡ y = 1 - (x + 1)^2
ha
* concavità verso y < 0
* asse x = - 1
* vertice V(- 1, 1)
* zeri A(0, - 2) oppure B(0, 0)
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Il generico punto P dell'arco AB
* in quanto su Γ ha coordinate P(x, 1 - (x + 1)^2)
* in quanto su AB è limitato a - 2 <= x <= 0
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La procedura risolutiva è di massimizzare, soggetta al vincolo - 2 <= x <= 0, la funzione
* f(x) = |x| + |(x + 2)*x| = - x*(|x + 2| + 1) = - x*(x + 3) = 9/4 - (x + 3/2)^2
che è un'altra parabola con vertice (- 3/2, 9/4) al culmine.
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Il richiesto punto P è all'ascissa x = - 3/2 con ordinata y = 1 - (- 3/2 + 1)^2 = 3/4 e
* s(x, y) = |x| + |y| = |- 3/2| + |3/4| = 9/4
come previsto.