[Risolto] problemi di massimo e minimo

@martina0re

Ciao e benvenuta.

A[-4, 0]

B[2, 1]

P[0, β]

AP^2+BP^2=f

(0 + 4)^2 + (β - 0)^2 = β^2 + 16

(0 - 2)^2 + (β - 1)^2 = β^2 - 2·β + 5

(β^2 + 16) + (β^2 - 2·β + 5) = f

quindi f(β) = 2·β^2 - 2·β + 21

parabola ad asse verticale

β = 1/2 ascissa del vertice  della parabola

2·(1/2)^2 - 2·(1/2) + 21= 41/2 minimo di f

Sull'asse y hai il punto (0,y).

La quantità richiesta è 

16 + y^2 + 4 + (y - 1 ) ^2 =

= 2y^2 - 2y + 21 =

= 2(y^2 - y + 1/4 + 41/4) =

= 2((y-1/2)^2 +41/4)

Il minimo assoluto si raggiunge per

y = 1/2.

I quadrati delle distanze del generico P(x, y) da A(- 4, 0) e da B(2, 1) sono
* |PA|^2 = (x + 4)^2 + y^2
* |PB|^2 = (x - 2)^2 + (y - 1)^2
e la loro somma è il paraboloide di rotazione
* f(x, y) = z = 2*(x + 1)^2 + 2*(y - 1/2)^2 + 37/2 >= 37/2
che, sul piano x = 0, diventa la parabola
* f(0, y) = z = 2*(y - 1/2)^2 + 41/2 >= 41/2
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CONCLUSIONE
Nel punto P(0, 1/2) dell'asse y la somma dei quadrati delle distanze di P da A(- 4, 0) e da B(2, 1) ha il minimo valore z = 41/2; il minimo assoluto z = 37/2 s'attinge in P(- 1, 1/2).