Ciao!
Problema 1
possiamo usare direttamente la formula della gittata: $ Gitt = \frac{2 v_0 ^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{g} = \frac{ 2 \cdot 9^2 \cdot \frac12 \frac{\sqrt{3}}{2}}{9.8} = 7.2 \ m $
La formula della gittata è nota e si ricava in questo modo:
Ricordiamoci che il moto di un proiettile è una combinazione del moto rettilineo uniforme sulle $x$ e del moto rettilineo uniformemente accelerato dalla gravità sulle $y$. Scomponendo $v_0$ lungo le sue componenti sugli assi, quindi $v_{0,x} = v_0 \cos(\alpha)$ e $v_{0,y} = v_0 \sin(\alpha) $ si ha il sistema:
$\begin{cases} x = v_{0,x} t \\ y = v_{0,y}t - \frac12 g t^2 \end{cases} $
ricaviamo $t$ dalla prima equazione, ottenendo $ t = \frac{x}{v_{0,x}}$ e sostituiamolo nella seconda:
$y = v_{0,y}\frac{x}{v_{0,x}} - \frac12 g (\frac{x}{v_{0,x}})^2 $
(questa equazione descrive proprio una parabola rivolta verso il basso)
Il punto di arrivo del proiettile è $(x_{arrivo}, y_{arrivo}) = (x, 0)$ perché il punto arriva a terra, che corrisponde ad un punto con ordinata nulla. Quindi:
$0 = v_{0,y}\frac{x}{v_{0,x}} - \frac12 g (\frac{x}{v_{0,x}})^2 $
che è un'equazione di secondo grado nella variabile $x$ le cui soluzioni indicano quando la traiettoria del proiettile tocca terra. Risolvendola otteniamo:
$x(\frac{xg}{2 v_{0,x}^2} -\frac{v_{0,y}}{v_{0,x}}) = 0$
che ci dà come soluzioni: $x = 0$ cioè il punto di partenza e
$\frac{xg}{2 v_{0,x}^2} = \frac{v_{0,y}}{v_{0,x}}$ che ci dà esattamente
$x = \frac{2 v_{0,y} v_{0,x}}{g} = \frac{2 v_0 \sin(\alpha) v_0 \cos(\alpha)}{g} = \frac{2 v_0^2 \cos(\alpha) \sin(\alpha)}{g} $
Problema 2
Raggiungono la stessa altezza?
Usiamo la formula dell'altezza massima: $y_{max} = \frac{v_0 \sin(\alpha)^2}{2g}$
quindi per il primo proiettile: $y_{1} = \frac{ 100 \sin(30)^2}{2g} = 1.3 \ m$
per il secondo proiettile: $y_{2} = \frac{100 \sin(60)^2}{2g} = 3.8 \ m$
per ricavarlo basta pensare al fatto che nel punto più alto, che corrisponde al vertice della parabola, la velocità ha solo componente orizzontale, quindi $v_y = v_{0,y} - gt $ ma con $v_y = 0 $, da cui $ t = \frac{ v_{0,y}}{g} $ e basta sostituire questo valore nell'equazione del moto rispetto all'asse $y$.
per quanto riguarda la gittata, è la stessa. Basta infatti osservare che: $\sin(30)\cos(30) = \sin(60) \cos(60) $, e gli altri valori rimangono invariati per i due proiettili.
Fai i conti della gittata e vedrai che è la stessa!
Per il terzo problema non sono sicuro della soluzione. Ci sono le soluzioni? Quali sono?
