Spiegare i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
Spiegare i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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Livello 2
Problema:
Risolvi il seguente problema di Cauchy:
$\ddot{y}-4y=8-4x, \ \ y(0)=0, \ \ y'(0)=1$
Soluzione:
Quando le EDO sono di secondo ordine conviene individuare per prima cosa il polinomio caratteristico e le sue radici:
$\lambda ² -4=0$
$\lambda=\pm 2$
Per il teorema delle EDO non omogenee si ha che la soluzione dell'equazione è la somma tra la soluzione omogenea e quella particolare, esattamente come nei sistemi. Quindi si individua prima la soluzione omogenea e poi quella particolare.
Dato che vi sono due radici reali la soluzione dell'omogenea è $y_H=c_1e^{2x}+c_2e^{-2x}$.
Non entro nel perché è così dato che bisognerebbe introdurre anche gli spazi vettoriali, però puoi verificare la veridicità di ciò sostituendo le soluzioni in una generica equazione differenziale del secondo ordine opportunamente costruita.
∆>0: Se le radici del polinomio caratteristico $P(\lambda)$ sono reali e disgiunte, allora si ha $y=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}$
∆=0: Se le radici sono reali e coincidenti, allora si ha $y=c_1e^{\lambda x}+c_2xe^{\lambda x}$
∆<0: Se le radici sono complesse ($\lambda_{1,2}=a \pm ib$), allora si ha $y=e^{ax} (c_1\cos bx +c_2 \sin bx)$. Questa relazione viene dalla formula di Eulero $e^{ix}=\cos x + i \sin x$ con una riduzione al campo dei reali.
Per individuare la soluzione particolare si utilizza il metodo per somiglianza e si ottiene che la soluzione particolare è del tipo $Ax+B$
Si considera l'equazione $ay''+by'+cy=f(x)$
Se $f(x)$ è un POLINOMIO di grado n, si individua un integrale del tipo
- $g(x)=P_n(x)$ completo di grado n se 0 non è radice del polinomio caratteristico.
-$g(x)=xP_n(x)$ se 0 è radice di molteplicità pari ad 1.
-$g(x)=x²P_n(x)$ se 0 è radice di molteplicità pari a 2.
Se $f(x)=he^{kx}$, si individua un integrale del tipo
- $g(x)=Ae^{kx}$ se k non è radice del polinomio caratteristico.
-$g(x)=xAe^{kx}$ se k è radice di molteplicità pari ad 1.
-$g(x)=x²Ae^{kx}$ se k è radice di molteplicità pari a 2.
Se $f(x)=h_1\sin kx +h_2 \cos kx$, si individua un integrale del tipo
- $g(x)=A\sin kx + B\cos kx$ se $\pm ik$ non sono radici del polinomio caratteristico.
- $g(x)=x(A\sin kx + B\cos kx)$ se $\pm ik$ sono radici del polinomio caratteristico.
Sostituendo ciò nell'equazione iniziale si individua che $A=1, B=-2$. Le soluzioni sono dunque descritte da:
$y=y_H+y_P=c_1e^{2x}+c_2e^{-2x}+x-2$
Restano da individuare i valori $c_1, c_2$, per farlo si calcola $y'=\frac{2c_1e^{4x}-2c_2+e^{2x}}{e^{2x}}$ e si utilizza il fatto che $y(0)=0, \ \ y'(0)=1$. Si ottiene dunque che $c_1=1, c_2=1$.
La soluzione al problema di Cauchy è dunque $y=e^{2x}+e^{-2x}+x-2$
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Livello 6