Un investimento. Paolo investe alla fine di ogni anno, per 8 anni, 2000 euro al tasso annuo composto uguale a $i$. Il montante generato dal capitale complessivamente investito all'atto dell'ultimo versamento effettuato è dato dalla formula $M=2000 \frac{(1+i)^8-1}{i}$. Calcola il limite cui tende $M$ quando il tasso $i$ tende a zero e interpreta il risultato in relazione al problema.
[16000 euro]
Spiegare il ragionamento e argomentare.
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Livello 2
Μ = 2000·((1 + i)^8 - 1)/i
rappresenta il montante di una rendita di rata R=2000€ posticipata costituita da 8 rate con scadenza alla fine di ogni anno, all'atto dell'ultimo versamento.
Se i → 0 significa che gli interessi non maturano per cui alla fine si deve ottenere come montante l'importo complessivo dei versamenti effettuati.
((1 + i)^8 - 1)/i =
=(i^8 + 8·i^7 + 28·i^6 + 56·i^5 + 70·i^4 + 56·i^3 + 28·i^2 + 8·i)/i=
=i^7 + 8·i^6 + 28·i^5 + 56·i^4 + 70·i^3 + 56·i^2 + 28·i + 8
per i → 0 si ha 8 come fattore moltiplicativo di 2000 che sono appunto il numero di rate versate alla fine di ogni anno. Quindi:
Μ = 2000·8 = 16000€
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Genius III
