Sia $A B C$ un triangolo isoscele sulla base $A B$, in cui $A \widehat{C} B=135^{\circ}$ e i lati obliqui misurano $a$. Considera un punto $P$ sul lato $B C$ e indica con $x$ la sua distanza da $C$. Calcola il limite del rapporto $\frac{\overline{A P}-\overline{A C}}{\overline{P C}}$ quando il punto $P$ tende a $C$.
Si giunge a dover calcolare $\left.\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^2+a \sqrt{2 x+a^2}}-a}{x} ; \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$
Spiegare il ragionamento e argomentare.
11881
punti
Livello 2
dati:
Calcoliamo il segmento $ \overline{AP} $ usando il teorema del coseno.
$ \overline AP^2 = a^2+ x^2 - 2axcos(135°) = a^2+x^2+a\sqrt{2}x $
$ \overline AP = \sqrt{a^2+x^2+a\sqrt{2}x} $
Passiamo al limite
$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\overline{AP} - \overline{AC}}{\overline{PC}} = $
$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{a^2+x^2+a\sqrt{2}x} - a}{x} = $
Forma indeterminata del tipo 0/0. Razionalizziamo con il termine $(\sqrt{a^2+x^2+a\sqrt{2}x} + a)$
$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x^2+a\sqrt{2}x}{x(\sqrt{a^2+x^2+a\sqrt{2}x} + a)} = $
$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x+a\sqrt{2}}{\sqrt{a^2+x^2+a\sqrt{2}x} + a} = \frac{a\sqrt{2}}{a\cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
21742
punti
Livello 6
