Problemi, calcolo differenziale

$f\left(t\right)=3\left(2-\left(\frac{1}{4}t-1\right)^{4}+\frac{1}{64}t^{3}-\frac{1}{8}t^{2}\right)$

$\textbf{a.}$

Per verificare che $f(0)=f(4)=f(8)=3$, basta fare un calcolo sostituendo a $t$ i rispettivi valori, il calcolo è molto fine a sé stesso, ma per completezza:

$f(0)=6-3(\frac{1}{4} \cdot 0-1)^4+\frac{3}{64}0^3-\frac{3}{8}0^2=6-3 \cdot 1^4 = 3$

$f(4)=6-3(\frac{1}{4} \cdot 4 -1)^4 +\frac{3}{64} \cdot 4^3 -\frac{3}{8} \cdot 4^2 =6-0+3-6 = 3$

$f(8)= 6-3(\frac{1}{4} \cdot 8 -1)^4+\frac{3}{64} \cdot 8^3 - \frac{3}{8} \cdot 8^2 = 6-3+24-24 = 3$

$f(0)=f(4)=f(8)$.

L'esistenza di $0<t_1<4$ e $4<t_2<8$ è assicurata dal teorema di Rolle.

$\textbf{b.}$

$f(2)=\frac{75}{16}=4.6875$.

$f(7)=\frac{705}{256}=2.75390625$

(ti risparmio il calcolo)

Non si può dire con certezza che l'acqua sia diminuita in tutto il tempo dell'intervallo $[2,7]$, perché grazie al teorema di Lagrange sappiamo che esiste un punto $c$ in cui la derivata della funzione è $f'(c)=\frac{f(7)-f(2)}{7-2}=\frac{f(7)-f(2)}{5} = -\frac{99}{256}$, quindi esiste almeno un punto in cui la derivata è negativa, ma allo stesso tempo, esiste un punto $C(t_2, f(t_2))$ nell'intervallo $[4,8]$ tale che $f'(t_2)=0$ per il teorema di Rolle (in realtà lo stesso varrebbe per il punto $(t_1,f(t_1))$ quando $2<t_1<4$). Se $4<t_2<7$ allora la funzione ha un punto di ascissa $c$ in cui la derivata è negativa e un punto stazionario, ciò vuol dire che la derivata era positiva nell'intervallo o prima o dopo il punto stazionario. Invece se $7<t_2<8$ allora potrebbe essere che la funzione abbia una derivata negativa in tutto $[2,7]$ (lo stesso vale nel caso di $0<t_1<2$). Non conoscendo la posizione di $t_1$ e $t_2$ non si può dire nulla sulla pendenza totale dell'intervallo.

Ovviamente guardando il grafico puoi vedere la posizione di $t_1$ e di $t_2$, ma senza derivare la funzione non puoi concludere nient'altro.