[Risolto] problema triangolo isoscele

@elenaax In un triangolo isoscele ABC di base AB l'altezza CH è 15/8 di HB. Sapendo che il perimetro di ABC è uguale a quello di un rettangolo la cui base supera CH di 1 cm e con altezza congruente a HB, trova l'area del triangolo ABC.

 

Poni i dati del triangolo come segue:

semi-base $HB=x$;

base $AB=2x$;

altezza $CH= \frac{15}{8}x$;

mentre il rettangolo:

base $b= \frac{15}{8}x+1$;

altezza $h=x$;

equazione con i perimetri delle due figure, per il triangolo utilizziamo il teorema di Pitagora sul triangolo rettangolo CHB:

$2\sqrt{\big(\frac{15}{8}x\big)^2+x^2}+2x = 2\big(\frac{15}{8}x+1+x\big)$

$2\sqrt{\frac{225}{64}x^2+x^2}+2x = \frac{30}{8}x+2+2x$

$2×\frac{17}{8}x+2x=\frac{30}{8}x+2+2x$ moltiplica tutto per 8:

$\frac{34}{8}x+2x=\frac{30}{8}x+2+2x$

$34x+16x=30x+16+16x$

$50x=46x+16$

$50x-46x=16$

$4x=16$

$x=\frac{16}{4}$

$x=4$

quindi lavorando sul triangolo:

semi-base $HB=x=4~cm$;

base $AB=2x=2×4 = 8~cm$;

altezza $CH= \frac{15}{8}x = \frac{15}{8}×4 = 7,5~cm$;

area $A= \frac{AB×CH}{2}=\frac{8×7,5}{2}=30~cm^2$.

 

In un triangolo isoscele ABC di base AB l'altezza CH è 15/8 di BH. Sapendo che il perimetro di ABC è uguale a quello di un rettangolo la cui base b supera CH di 1 cm e con altezza h congruente a BH, trova l'area del triangolo ABC.

rettangolo 

semi-perimetro p = b+h = 15BH/8+1+BH = 23BH/8+1

perimetro 2p = 23BH/4+2

 

triangolo 

BC = √BH^2+(15BH/8)^2 = √  BH^2+225BH^2/64 = √289BH^2/64 = 17BH/8 

perimetro 2p' = 2BC+2BH = 17BH/4+2BH = 25BH/4

uguagliando le espressioni di 2p e 2p'

23BH/4+2 = 25BH/4 

2 = 2BH/4 

BH = 2*4/2 = 4 cm 

AB = 2BH = 2*4 = 8 cm

CH = 15/8*4 = 7,5 cm

area A = AB*CH/2 = 7,5*4 = 30,0 cm^2