Problema:
Un macchinario ha un costo di 50.000 euro; la sua manutenzione richiede un costo di 2000 euro nell’anno dell’acquisto e un costo che aumenta ciascun anno del 10% rispetto all’anno precedente per ognuno degli anni successivi.
a. Sia $u_n$ il costo, in euro, per la manutenzione, in corrispondenza dell’n-esimo anno dopo l’acquisto (essendo n=0 l’anno dell’acquisto). Rappresenta la successione in forma ricorsiva,quindi determinane il termine generale.
b. Si stabilisce che il macchinario verrà cambiato nell’anno in cui il costo annuale di manutenzione verrebbe a superare gli 8000 euro. In quale anno il macchinario verrà sostituito?
c. Sia $s_n$ il costo complessivo in euro, necessario per la manutenzione del macchinario, nel periodo che va dall’anno di acquisto (n=0) fino all’n-esimo anno dopo l’acquisto. Determina il termine generale della successione $s_n$.
Soluzione:
a. Dai dati è possibile stabilire che $u_0=2000$, dato che ogni anno il costo aumenta del 10% rispetto al precedente, è possibile scrivere $u_n=10u_{n-1}/100+u_{n-1}=u_{n-1}(0.1+1)=u_{n-1}(1.1)$. Per determinare il termine generale si può notare che $u_1=2000(1.1)$, $u_2=2000(1.1)(1.1)$, $u_3=2000(1.1)(1.1)(1.1)$,... . Dunque si può generalizzare il tutto con $u_n=2000(1.1)^n$.
b. Bisogna determinare $u_n≥8000 \to 2000(1.1)^n≥8000 \to (1.1)^n≥4 \to n \ln(1.1) ≥ \ln 4 \to n≥\frac{\ln 4}{\ln 1.1}=14,6$. Il macchinario verrà cambiato dopo 14,6 anni.
c. Il costo complessivo è dato dalla somma dei costi parziali, si ha dunque che $s_n=u_0+u_1+u_2+...+u_n=\sum_{k=0}^n u_k=\sum_{k=0}^n 2000(1.1)^k=2000\sum_{k=0}^n (1.1)^k$. Questa è una serie geometrica a carattere divergente positivo dato che la ragione è strettamente maggiore di 1.
