Problema sulle parabole

y = a·x^2 - 2·x + a + 3

Siano: [α, β] le coordinate del vertice V della parabola relativa ad un valore di a

Deve essere, per l'appartenenza di V al 4° quadrante:

{α > 0

{β < 0

ma tali coordinate, come risaputo sono legate ai coefficienti della parabola:

α = 2/(2·a) il vertice sta sull'asse di simmetria: α = 1/a

β = - (2^2 - 4·a·(a + 3))/(4·a)---> β = (a^2 + 3·a - 1)/a

Quindi deve essere:

{1/a > 0

{(a^2 + 3·a - 1)/a < 0

quindi:

{a > 0

{a < - √13/2 - 3/2 ∨ 0 < a < √13/2 - 3/2

(per i relativi calcoli veditela tu!)

Soluzione sistema: [0 < a < √13/2 - 3/2]

[0 < a < 0.3027756377]

 

 

Per completamento del quadrato dei termini variabili (al netto dell'apertura) si trovano le coordinate del vertice V della parabola Γ; poi si controlla se esistono valori del parametro che le rendano dei segni opportuni.
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* Γ ≡ y = a*x^2 - 2*x + a + 3 ≡
≡ y = a*(x^2 - (2/a)*x + 1 + 3/a) ≡
≡ y = a*((x - 1/a)^2 - (1/a)^2 + 1 + 3/a) ≡
≡ y = a*(x - 1/a)^2 + (a^2 + 3 a - 1)/a
da cui
* V(1/a, (a^2 + 3 a - 1)/a)
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V cade nel quarto quadrante se e solo se
* (1/a > 0) & ((a^2 + 3 a - 1)/a < 0) ≡
≡ (a > 0) & (a^2 + 3 a - 1 < 0) ≡
≡ 0 < a < (√13 - 3)/2